Optimización del área de un rectángulo inscrito

Correspondiente a 2º de BACHILLERATO, de optimización, una de las mejores aplicaciones de las derivadas. En este caso, nos piden las dimensiones de un rectángulo inscrito en un triángulo (que no es equilátero ni isósceles) de altura 4m y base 10m, para que su área sea máxima (la del rectángulo). Para ello obtendremos la expresión del área de los triángulos en los que el rectángulo inscrito divide a nuestro triangulo y las sumaremos todas.
De esa manera obtendremos la relación entre la base (x) y la altura (y) de nuestro rectángulo. Expresaremos el área del rectángulo en función de x e y, sustituiremos y, derivaremos la función.

P.D. La demostración de que x=5 es el máximo de nuestra función os la dejo a vosotros.

NOTA: Para hallar la relación entre x e y, casi de forma inmediata, puede aplicarse el teorema de Thales, porque el triangulo de base 10 y altura 4 es proporcional al triangulo superior, de base 10 y altura 4-y. Y quedaría 10/x=4/(4-y).. 40-10y=4x....

Y si quieres ayudarme a subtitular los vídeos a otros idiomas, te lo agradeceré infinito... Pregúntame cómo..

"Snowflake - Longing (Base Mode pres. Lunar Chillout Mix)" by Lunar http://ccmixter.org/files/lunarmusic/37560