Vectores perpendiculares

A mi me sale imposible míralo tu a ver que opinas 

1)

Aquí tendrás que revisar los datos que tienes consignados en tu enunciado, o consultar con tus docentes al respecto.

Oberva que tienes el vector v = < 1 ; 0 ; 1 >, cuyo módulo tiene la expresión: ||v|| = √(2),

y puedes plantear la expresión del vector unitario: U = < x ; y ; z >, cuyo módulo es: ||U|| = 1, y que cumple la condición: 

√(x² + y² + z²) = 1, aquí elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

x² + y² + z² = 1 (1);

luego, planteas la condición de perpendicularidad para los vectores v y U, y queda la ecuación vectorial:

v•U = 0, 

a continuación sustituyes la expresión del producto escalar de los vectores en función de sus componentes, y queda:

< 1 ; 0 ; 1 >•< x ; y ; z > = 0, aquí desarrollas el producto escalar, cancelas el término nulo, y queda:

x + z = 0 (2);

luego, tienes el vector w = < 7/2 ; √(2)/2 ; 7/2 >, cuyo módulo tiene la expresión: ||w|| = 5,

a continuación planteas la expresión del producto escalar del vector v por el vector unitario U, en función de los módulos de los vectores y del ángulo determinado por los mismos, y queda:

w•U = ||w||*||U||*cosθ, 

aquí sustituyes la expresión del producto escalar en función de las componentes de los vectores, reemplazas valores en el segundo miembro, y queda:

< 7/2 ; √(2)/2 ; 7/2 >•< x ; y ; z > = 5*1*cos(60°), aquí desarrollas el producto escalar, resuelves en el segundomiembro, y queda:

7x/2 + √(2)y/2 + 7z/2 = 5/2, aquí multiplicas por 2 en todos los términos, y queda:

7x + √(2)y + 7z = 5 (3);

luego, de la ecuación señaladas (2) despejas: z = - x,

a continuación sustituyes esta última expresión en las ecuaciones señaladas (1) (3), resuelves términos, reduces térmnos semejantes, y queda:

2x² + y² = 1,

√(2)y = 5, de aquí despejas: y = 5/√(2),

a continuación reemplazas este valor en la primera ecuación, resuelves su segundo término, y queda:

2x² + 25/2 = 1, y de aquí despejas: x = √(-23)/2, que no corresponde a números reales,

y puedes concluir que no existe un vector U que cumpla con las condiciones que tienes en tu enunciado.

Obtengo igual resultado por via de la geometria analitica. Llego a un sistema de ecuaciones el cual es indeterminado ya que se obtienen raíces cuadradas de número negativo.

Adjunto respuesta.

Dime, Sergio, ¿qué opinas tú de este ejercicio? Creo que aun necesitas de los conocimientos básicos de la geometría para comprenderlo.

La verdad que os agradezco todas las respuestas. Soy alumno de primer año de la ingeniería de Organización Industrial, y hace 12 años que acabé bachillerato por lo que todo esto lo tenía olvidado completamente. Había tratado de hacerlo varias veces y me daba una solución extraña que al sustituir valores para comprobarlo no me coincidía. A raíz de vuestras respuestas me he puesto en contacto con el profesor y me dice que no buscaba un resultado concreto sino la capacidad de desarrollar las ecuaciones para llegar a un resultado.

Mil gracias por toda la ayuda que me habéis dado!!