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¿Sabías que puedes dejar tus dudas sobre cualquier asignatura en los foros y nuestros profesores te ayudarán?

Liam Z.

Buen día a todos. Este problema debo resolverlo pero no sé qué criterio debo emplear para solucionarlo. Gracias.


Respuestas (4)

Vamos con una orientación.

Observa nuestra figura, que consiste en la que tienes en tu enunciado, más algunas referencias adicionales.

1°)

Planteas la expresión del área del trapecio, en función de las longitudes de sus bases y de su altura, y queda:

At = (1/2)*(BM + Bm)*h,

aquí sustituyes expresiones, reduces términos semejantes en el agrupamiento, y queda:

At = (1/2)*(2*w - 4*x + 2*x*cosθ)*x*senθ,

ahora distribuyes factores comunes, y queda:

At = w*x*senθ - 2*x2*senθ + x2*cosθ*senθ (*),

que es la expresión del área del trapecio, en función de la longitud de sus lados, y del ángulo que estos determinan con su base mayor,

a continuación planteas la condición de punto estacionario (posible mínimo o máximo), por lo que planteas las expresiones de las derivadas parciales de esta función, las igualas a cero, y queda el sistema de ecuaciones:

w*senθ - 4*x*senθ + 2*x*cosθ*senθ = 0, 

w*x*cosθ - 2*x2*cosθ + x2*(-sen2θ + cos2θ) = 0, 

ahora divides por senθ en todos los términos en la primera ecuación, expresas al primer término, en el agrupamiento en la segundo miembro en función del coseno, reduces términos semejantes en el mismo, divides por x en todos sus términos, y queda:

w - 4*x + 2*x*cosθ = 0, y de aquí despejas: x = w/(4 - 2*cosθ) (1),

w*cosθ - 2*x*cosθ + x*(2*cos2θ - 1) = 0,  

a continuación sustituyes la expresión señalada (1) en la segunda ecuación, y queda:

w*cosθ - 2*w*cosθ/(4 - 2*cosθ) + w*(2*cos2θ - 1)/(4 - 2*cosθ) = 0,  

aquí divides por w en todos los términos, y queda:

cosθ - 2*cosθ/(4 - 2*cosθ) + (2*cos2θ - 1)/(4 - 2*cosθ) = 0,  

ahora multiplicas por (4 - 2*cosθ) en todos los términos, y queda:

cosθ*(4 - 2*cosθ) - 2*cosθ + 2*cos2θ - 1 = 0,

a continuación distribuyes en el primer término, reduces y ordenas términos (observa que tienes cancelaciones), y queda:

2*cosθ - 1 = 0,

y de aquí despejas:

cosθ = 1/2 (2),

ahora compones con la función inversa del coseno, y queda:

θ = 60°,

a continución reemplazas el valor señalado (2) en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda:

x = w/3,

ahora reemplazas estos dos valores críticos remarcados en la expresión del área de sección transversal señalada (*), y queda:

At = w*(w/3)*sen(60°) - 2*(w/3)2*sen(60°) + (w/3)2*cos(60°)*sen(60°),

aquí resuelves expresiones en todos los términos, extraes factores comunes, y queda:

At = w2*sen(60°)*(1/3 - 2/9 + cos(60°)/9),

ahora resuleves la expresión en el agrupamiento (recuerda: cos(60°) = 1/2), y queda:

At = w2*sen(60°)*(1/6),

ahora reemplazas el valor trigonométrico exacto (recuerda: sen(60°) = √(3)/2), resuelves, y qued:

At = √(3)*w2/12 ≅ 0,144*w2.


2°)

Planteas la expresión del perímetro de una circunferencia, y del área de un disco circular, ambos con radio R, y queda:

P = 2π*R, y de aquí despejas: R = P/(2π) (**),

Ac = π*R2,

a continuación sustituyes la expresión señalada (**) en la segunda ecuación, resuelves, y queda:

Ac = P2/(4π),

aquí sustituyes la expresión del perímetro de la circunferencia, como el ancho de la chapa en estudio, y queda:

Ac = w2/(4π) ≅ 0,080*w2.

3°)

Comparas los valores de las secciones transversales que hemos obtenido, y puedes concluir que la canaleta con sección trapezoidal permite un flujo mayor de agua.

Espero haberte ayudado.

Muestro otra alternativa de sol. en varias variables. Saludos.


Continuación y gráficos para W=5...