Pol Serra
¡Buenos días!
Alguien si es tan amable, me podría explicar de una forma más desarrollada como llegan a esa solución?
Gracias de antemano!
Toman el miembro izquierdo de la ecuación, lo multiplican y dividen por la conjugada del denominador y operan en ambos hasta obtener como resultado "i" el cual llevan a la forma exponencial aplicando la identidad de Euler. Este resultado lo igualan al miembro derecho de la ecuación dada, para que se cumpla la igualdad las potencias deben ser iguales, finalmente se despeja la variable x.
¿Y como despejan dicha variable x?, es alli justo donde me pierdo.
Se llega a la igualdad
e^(2x)=i=cos(π/2)+i•sen(π/2)
e^(2x)=i•sen(π/2)
Sabes que seno y coseno son periódicas cada 2kπ, o sea, sen(x) =sen(x+2kπ) luego:
e^(2x)=i•sen(π/2+2kπ)
aplicas ln a ambos miembros:
2x=ln(i•sen(π/2+2kπ))=i(π/2+2kπ)
x=i(π/4+kπ)
Recordando, en este caso el trabajo con logaritmos de argumento complejo. De otra manera puede ser la variante que se plantea igualando las potencias de las exponenciales siendo lo mismo. 2x=i(π/2+2kπ)
x=i(π/4+kπ)
A ver si te ayudamos con el siguiente desarrollo.
En el primer miembro, tienes la expresión del número complejo en forma cartesiana binómica:
u = (1 + i)/(1 - i) = i = 0 + 1i,
cuyo módulo es: |u| = 1, y su argumento principal es: φ = π/2, y su argumento general es: θ = π/2 + 2kπ, con: k ∈ Z,
por lo que lo expresas en forma exponencial (recuerda: u = |u|*eiθ), y queda:
u = (1 + i)/(1 - i) = 1*ei(π/2 + 2kπ) = ei(π/2 + 2kπ), con: k ∈ Z,
a continuación sustituyes esta última expresión exponencial en el primer miembro en la ecuación que tienes en tu enunciado, y queda:
ei(π/2 + 2kπ) = e2x, con: k ∈ Z,
aquí, por igualdad de potencias con bases iguales, igualas las expresiones que tienes en los exponentes, y queda la ecuación:
i(π/2 + 2kπ) = 2x, con: k ∈ Z,
aquí divides por 2 en ambos miembros, y a continuación despejas:
x = i(π/2 + 2kπ)/2, con: k ∈ Z,
ahora distribuyes el denominador con los dos términos que tienes en el agrupamiento, simplificas, resuelves, y queda:
x = i(π/4 + kπ), con: k ∈ Z.
Espero haberte ayudado.
Ten en cuenta la siguiente igualdad, que se deriva de la periodicidad del seno y coseno cada 2kπ, y se acabó el asunto:
ln{Ae^(iθ)}=ln(A)+i(θ+2kπ)
Por tanto: e^(2x)=e^(iπ/2)
Aplicando ln a ambos miembros: 2x=ln(1)+ln{e^(iπ/2)}=i(π/2+2kπ)
x=i(π/4+kπ)