Límites de una función

Esperamos ayudarte con el desarrollo siguiente, en el que no empleamos Regla de L´Hôpital, tú nos dirás si te resulta útil.

Aquí planteas la expresión del logaritmo natural del límite en estudio L, y queda:

Ln(L) = Ln( lím(x→+∞) (e^x + x³)^1/x ),

a continuación, como la función logarítmica natural es continua, "introduces" el logaritmo en el límite, y queda:

Ln(L) = lím(x→+∞) ( Ln[(e^x + x³)^1/x] ), 

aquí aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia, y queda:

Ln(L) = lím(x→+∞) ( (1/x)*Ln(e^x + x³) ),  

ahora extraes factor común "e^x" en el argumento en la expresión logarítmica, y queda:

Ln(L) = lím(x→+∞) ( (1/x)*Ln(e^x*[1 + x³/e^x] ),  

a continuación aplicas la propiedad del logaritmo de una multiplicación, y queda:

Ln(L) = lím(x→+∞) ( (1/x)*[Ln(e^x) + Ln(1 + x³/e^x) ),  

ahora resuelves la expresión en el primer término logarítmico, y queda:

Ln(L) = lím(x→+∞) ( (1/x)*[x + Ln(1 + x³/e^x) ),  

aquí distribuyes el factor común (1/x), y queda:

Ln(L) = lím(x→+∞) ( 1 + (1/x)*Ln(1 + x³/e^x) ) (1),

y a continuación observa que la expresión (1/x) tiende a cero, que la expresión x³/e^x también tiende a cero (aquí revisa tus apuntes de clase, porque seguramente has estudiado que la función exponencial toma valores mucho mayores que la función cúbica, cuando la variable "x" tiende a +infinito),

por lo que tienes que el segundo término en el argumento en este límite tiende a: Ln(1 + 0) = Ln(1) = 0, por lo que resuelves el límite, y queda:

Ln(L) = 1,

aquí compones en ambos miembros con la función exponencial natural, y queda:

L = e.

Espeor haberte ayudado.

Aplica logaritmo a la expresión y luego regle de L´Hospital

Aquí puedes ver como la función finalmente es asintótica en la recta horizontal y=e