Lucas
Buenas tardes, tengo una duda con respecto a este problema que abarca la ley de enfriamiento de Newton. Normalmente había realizado problemas donde la temperatura ambiente era constante, pero en este caso, dice que la temperatura del ambiente empieza a bajar a una velocidad de 1 F/min lo cual me pone en duda al momento de resolver, puesto que no se como emplearlo. Habitualmente para resolver este tipo de problemas, empleaba lo siguiente:
T(t): Temperatura del objeto en t
TA = Temperatura ambiente (constante)
T`(t) = razón de cambio de la temperatura
T`(t) = K(T(t) - TA )
Pero como dije anteriormente, no me había topado con un ejercicio donde la temperatura ambiente comenzara a cambiar. Agradezco de antemano si me pueden guiar y explicar como emplear la ley de enfriamiento para cuando la temperatura ambiente cambia, y más en este caso que comienza a bajar a una velocidad de 1 F/min. Gracias por la atención prestada.
No tenemos material al respecto todavía (lo apuntamos), no obstante, la función general para la ley de enfriamiento de Newton es T=Ce⁻ᵏᵗ+Tₐ.
Puedes echar un vistazo al siguiente vídeo https://www.youtube.com/watch?v=VOrnltNCsKQ donde se explica con un ejemplo.
Vamos con una orientación.
Puedes plantear el problema en dos etapas.
1°)
El objeto se enfría en un ambiente con temperatura constante, que es una situación que ya sabes abordar, en la que obtendrás el valor "K", que corresponde al enfriamiento del objeto, y es una característica del mismo (queda para ti la tarea de plantear y resolver esta situación).
2°)
El objeto se enfría en un ambiente con temperatura variable, aquí observa que la temperatura ambiente inicial es: TA(0) = 60 °F, y que la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo es: -1 °F/min, por lo que puedes plantear la ecuación diferencial:
dTA/dt = -1, cuya solución general es:
TA(t) = -t + C (1),
a continuación planteas la condición inicial:
TA(0) = 60, sustituyes la expresión señalada (1) evaluada, y de aquí despejas:
C = 60 °F, a continuación reemplazas este valor en la expresión de la temperatura ambiente señalada (1), y queda:
TA(t) = -t + 60 (2), que es la expresión particular de la temperatura ambiente para esta etapa.
Luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación diferencial correspondiente a la Ley de Enfriamiento de Newton que tú has consignado, y queda (observa que expresamos a la derivada de la temperatura con respecto al tiempo como cociente entre diferenciales):
dT/dt = k*(T - [-t + 60]), desarrollas el segundo miembro, y queda:
dT/dt = k*T + k*t - 60*k, restas k*t en ambos miembros, a continuación extraes factor común en el segundo miembro, y queda:
dT/dt - k*t = k(t - 60) (3),
que es una ecuación diferencial lineal, de primer grado y no homogénea, cuya solución general es:
T(t) = C*ek*t - t - 1/k + 60 (4),
aquí planteas la condición inicial de la temperatura del objeto para esta etapa:
T(0) = 200 °F, reemplazas la expresión señalada (4) evaluada en el primer miembro, y queda:
C - 1/k + 60 = 200, y de aquí despejas:
C = [140*k + 1]/k, a continuación sustituyes esta expresión en la expresión de la función señalada (4), y queda:
T(t) = ([140*k + 1]/k)*ek*t - t - 1/k + 60 (5),
que es la expresión de la temperatura del objeto en función del tiempo para la segunda etapa de la experiencia, y queda para ti reemplazar el valor de la constante "k", cuyo valor has obtenido al resolver la expresión de la temperatura del objeto en la primera etapa de la experiencia.
Espero haberte ayudado.