nagore
Buenos dias, me podeis ayudar con este ejercicio?. Muchas gracias
Oberva que tienes los datos, que consisten en el punto A(-1;0;2),
las ecuaciones cartesianas simétricas (o continuas) de la recta r:
(x - 1)/2 = (y - 0)/3 = (z - 2)/1,
y de aquí tiens que el punto D(1;0;2) pertenece a esta recta, y que uno de sus vectores directores es: u = < 2 ; 3 ; 1 >,
y las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta s:
x = -1 - 2*μ,
y = 1 + 3*μ,
z = 1 + 1*μ,
y de aquí tienes que el punto E(-1;1;1) pertenece a esta recta, y que uno de sus vectores directores es: v = < -2 ; 3 ; 1 >.
a)
Observa que tienes que el punto A(-1;0;2) pertenece al plano π y que este plano contiene a la recta r, por lo que también tienes:
- que el punto D(1;0;2) pertenece a este plano, y
- que el vector u = < 2 ; 3 ; 1 > es paralelo al mismo,
a continuación con las coordenadas de los puntos A y D planteas la expresión del vector w = AD que también es paralelo al plano π, y queda:
w = AD = < 1 - (-1) ; 0 - 0 ; 2 - 2 > = < 2 ; 0 ; 0 >,
a continuación planteas la expresión de un vector normal al plano π, como el producto vectorial de los vectores u y v, y queda:
n = u x w = < 2 ; 3 ; 1 > x < 2 ; 0 ; 0 > = < 0 ; 2 ; -6 >,
a continuación considera un punto genérico P(x;y;z) perteneciente al plano π, y con este punto y el punto A (o el punto D si lo prefieres), planteas la expresión de un vector genérico paralelo al plano π, y queda:
t = AP = < x - (-1) ; y - 0 ; z - 2 > = < x + 1 ; y ; z - 2 >;
luego, con la expresión del vector normal n y con la expresión del vector genérico t, planteas una ecuación vectorial del plano π, y queda:
n • t = 0,
aquí sustituyes las expresiones de los vectores, y queda:
< 0 ; 2 ; -6 > • < x + 1 ; y ; z - 2 > = 0,
ahora desarrollas el producto escalar en el primer miembro, y queda:
0*(x + 1) + 2*y - 6*(z - 2) = 0,
a continuación cancelas el primer término (observa que es nulo), distribuyes en el tercer término, y queda:
2*y - 6*z + 12 = 0,
aquí divides por 2 en todos los términos, y queda:
y - 3*z + 6 = 0,
que es una ecuación cartesiana implícita del plano π.
b)
Observa que tienes que el punto A(-1;0;2) pertenece al plano σ,
y que este plano es perpendicular a la recta s, por lo que tienes que su vector director: v = < -2 ; 3 ; 1 > es perpendicular a dicho plano y, por lo tanto, es uno de sus vectores normales,
a continuación considera un punto genérico P(x;y;z) perteneciente al plano σ, y con este punto y el punto A planteas la expresión de un vector genérico paralelo al plano σ, y queda:
t = AP = < x - (-1) ; y - 0 ; z - 2 > = < x + 1 ; y ; z - 2 >;
luego, con la expresión del vector normal n y con la expresión del vector genérico t, planteas una ecuación vectorial del plano π, y queda:
v • t = 0,
aquí sustituyes las expresiones de los vectores, y queda:
< -2 ; 3 ; 1 > • < x + 1 ; y ; z - 2 > = 0,
ahora desarrollas el producto escalar en el primer miembro, y queda:
-2*(x + 1) + 3*y + 1*(z - 2) = 0,
a continuación distribuyes en el primer y en el tercer término, y queda:
-2*x - 2 + 3*y + z - 2 = 0,
aquí reduces términos semejantes, y queda:
-2*x + 3*y + z - 4 = 0,
que es una ecuación cartesiana implícita del plano σ.
muchas gracias, el apartado c?
c)
1)
Observa que tienes que la recta L es la intersección de los planos π y σ, por lo que tienes que su vector director m es paralelo a ambos planos y, que también es perpendicular a sus vectores normales, a continuación panteas la expresión de un vector director de la recta L como el producto vectorial de los vectores normales a los planos mencionados, y queda:
m = n x v = < 0 ; 2 ; -6 > x < -2 ; 3 ; 1 >,
aquí desarrollas el producto vectorial, y queda:
m = < 20 ; 12 ; 4 >,
a continuación planteas el sistema de ecuaciones que describe a la recta L como la intersección de los planos π y σ, y queda:
y - 3*z + 6 = 0, y de aquí despejas: y = -6 + 3*z (*),
-2*x + 3*y + z - 4 = 0,
a continuación sustituyes la expresión señalada (*) en la segunda ecuación, y queda:
-2*x + 3*(-6 + 3*z) + z - 4 = 0,
aquí distribuyes en el segundo término, reduces términos semejantes, y queda:
-2*x + 10*z - 22 = 0,
ahora divides por -2 en todos los términos, y a continuación despejas:
x = -11 + 5*z (**),
y aquí observa que puedes proponer la parametrización:
z = δ,
ahora sustituyes esta expresión paramétrica en las ecuaciones señaladas (*) (**), y con esta útlima ecuación queda:
x = -11 + 5*δ,
y = -6 + 3*δ,
z = 0 + 1*δ,
y de aquí tienes que el punto B(-11;-6;0) pertenece a la recta L, y que el vector M = < 5 ; 3 ; 1 > es otro de sus vectores directores.
Muchisimas gracias
2)
Observa que tienes que el plano π, cuyo vector normal es: n = < 0 ; 2 ; -6 >, contiene a la recta L, y que el punto E(-1;1;1) pertenece a la recta s, a continuación observa que con las componentes del vector n y con las coordenadas del punto E, planteas una ecuación cartesiana implicita para el plano π' que es paralelo al plano π y contiene a la recta s, y queda:
0*(x - (-1)) + 2*(y - 1) - 6*(z - 1) = 0,
ahora cancelas el término nulo, distribuyes en los demás términos, reduces términos semejantes, y queda:
2*y - 6*z - 8 = 0,
a continuación divides por 2 en todos los términos, y queda:
y - 3*z - 4 = 0 (A),
que es una ecuación correspondiente al plano π' que contiene a la recta s.
Luego, con las componentes del vector n = < 0 ; 2 ; -6 >, que es un vector normal a los planos π y π', y con las coordenadas del punto A(-1;0;2) que pertenece al plano π, planteas ecuaciones cartesianas paramétricas que la recta G que es perpendicular a ambos planos, y queda:
x = -1 + 0*ε,
y = 0 + 2*ε,
z = 2 - 6*ε,
aquí cancelas términos nulos en las dos primeras ecuaciones, y queda:
x = -1 (B),
y = 2*ε (B*),
z = 2 - 6*ε (B**),
ahora, a fin de determinar el punto de intersección de esta recta con el plano π', sustituyes estas tres expresiones paramétricas en la ecuación de dicho plano señalada (A), y queda.
2*ε - 3*(2 - 6*ε) - 4 = 0,
a continuación distribuyes en el segundo término, reduces términos semejantes, y queda:
20*ε - 10 = 0,
y de aquí despejas:
ε = 1/2,
ahora reemplazas este valor en el sistema conformado por las ecuaciones señaladas (B) (B*) (B**), las resuelves, y tienes que el punto buscado tiene la expresión:
H(-1;1;-1);
luego, observa que la distancia que separa a los planos π y π' es también la distancia que separa a las rectas s y L, y observa además que esta distancia es igual a la distancia que separa a los punto A y H, por lo que planteas la expresión de esta distancia, y queda:
dist(s;L) = dist(A;H) = √([-1 - (-1)]2 + [1 - 0]2 + [-1 - 2]2) = √(0 + 1 + 9) = √(10).
Espero haberte ayudado.