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Buenos días
el enunciado dice comprueba si cada par de funciones son una inversa de la otra. Para ello calcula f o f-1. Me gustaría saber como resolver el apartado c ya que me queda 2Log2 (x/3)
Un saludo y gracias
Eso que obtienes no es la inversa de f(x).
f(x) es inyectiva y su inversa será lo siguiente, despejando x:
log[2](x/3)=y-1
2^(y-1)=(x/3)
x=3*2^(y-1)
Luego, su inversa es: y=3*2^(x-1)
Coincidente con la respuesta del ejercicio.
El la gráfica, f(x) es la de trazo blanco y su inversa con trazo azul, lógicamente simétricas a la recta y=x
b)
Aquí deberás consultar con tus docentes, pues las expresiones que tienes en tu enunciado no corresponden a funciones que son inversas entres sí.
c)
Completamos.
Observa que la función "f" puede tomar cualquier valor real, y que su dominio es el conjunto (expresado como intervalo): A = ( 0 ; +∞ ) (recuerda que los logaritmos están definidos para valores de la variable "x" que sean estrictamente positivos) y que su imagen es el conjunto de los números reales: B = R, y que a partir de la ecuación que te muestra el colega Enrique:
x = 3*2y - 1,
tienes que para cada valor de la variable "y" tienes un único valor de la variable "x", por lo que ya tienes que la función "f" es inyectiva,
a continuación permutas variables en esta última ecuación, y queda:
y = 3*2x - 1,
que es la ecuación de la gráfica de la función:
f-1(x) = 3*2x - 1, cuyo dominio es el conjunto: B = R, y cuya imágen es el conjunto: A = ( 0 ; +∞ ),
por lo que ya tienes justificado que las dos funciones cuyas expresiones tienes en tu enunciado son inversas entre sí;
luego, a fin de verificarlo, puedes plantear las composiciones:
1°)
[ f-1 o f ](x) = f-1( f(x) ) = f( 1 + Log2(x/3) ) = 3*21 + Log₂(x/3) - 1 = 3*2Log2(x/3) = 3*x/3 = x,
2°)
[ f o f-1 ](x) = f( f-1(x) ) = f( 3*2x - 1 ) = 1 + Log2( [3*2x - 1/3] ) = 1 + Log2(2x - 1) = 1 + x - 1 = x,
y ya tienes verificado que las funciones cuyas expresiones tienes en tu enunciado son inversas entre sí, ya que sus composiciones entre sí son iguales a la función identidad.
Espero haerte ayudado.
Lógicamente, el enunciado del ejercicio dice: "comprueba que", no afirma que una función sea la inversa de la otra.
En el (b), su inversa es:
y^2=2x+3
(y^2-3)/2=x
Por lo que su inversa es:
y=(x^2-3)/2
Cuya imágen es igual al dominio de la función f(x), o sea, Imágen{y∈ℛ: y≥-3/2}
Su dominio es la imágen de f(x): x ≥0