María Alonso
Sen6x-2sen4x+sen2x=0
Teniendo en cuenta q sólo se las fórmulas de las razones trigonométricas básica, la ecuacion fundamental de ña trigonometria, las del ángulo doble y las de suma y resta y por supuesto factorizar e iguñadades notables.
Llevo 24 hs pegándome con la ecuación. Gracias
Adjunto solución... Saludos
Colaboramos.
1°)
Vamos con algunos planteos previos.
Observa que con la identidad del ángulo doble puedes plantear:
sen(4x) = sen(2*2x) = 2*sen(2x)*cos(2x) (1),
cos(4x) = cos(2*2x) = cos²(2x) - sen²(2x) (2).
Observa que con la identidad de la suma de dos ángulos puedes plantear:
sen(6x) = sen(2x + 4x) = sen(2x)*cos(4x) + cos(2x)*sen(4x),
a continuación sustituyes la expresión señalada (2) en el primer término, sustituyes la expresión señalada (1) en el segundo término, y queda:
sen(6x) = sen(2x)*(cos²(2x) - sen²(2x)) + cos(2x)*2*sen(2x)*cos(2x),
aquí distribuyes en el primer término, resuelves la expresión en el segundo término, y queda:
sen(6x) = sen(2x)*cos²(2x) - sen³(2x) + 2*sen(2x)*cos²(2x),
ahora reduces términos semejantes, y queda:
sen(6x) = 3*sen(2x)*cos²(2x) - sen³(2x) (3).
2°)
Tienes tu ecuación trigonométrica:
sen(6x) - 2*sen(4x) + sen(2x) = 0,
a continuación sustituyes la expresión señalada (3) en el primer término, sustituyes la expresión señalada (1) en el segundo término, y queda:
3*sen(2x)*cos²(2x) - sen³(2x) - 2*2*sen(2x)*cos(2x) + sen(2x) = 0,
aquí resuelves el coeficiente en el tercer término, después extraes factor común: sen(2x), y queda:
sen(2x)*(3*cos²(2x) - sen²(2x) - 4*cos(2x) + 1) = 0,
y por anulación de una multiplicación, observa que tienes dos opciones:
a)
sen(2x) = 0,
ahora compones con la función inversa del seno, y queda:
2x = kπ,
y de aquí despejas:
x = kπ/2, con: k ∈ Z,
cuyos valores en el primer giro son: 0, π/2, π, 3π/2,
b)
3*cos²(2x) - sen²(2x) - 4*cos(2x) + 1 = 0,
a continuación sustituyes en función del coseno en el segundo término, y queda:
3*cos²(2x) - (1 - cos²(2x)) - 4*cos(2x) + 1 = 0,
aquí distribuyes en el segundo término, y queda:
3*cos²(2x) - 1 + cos²(2x) - 4*cos(2x) + 1 = 0,
ahora reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), y queda:
4*cos²(2x) - 4*cos(2x) = 0,
a continuación divides por 4 en todos los términos, después extraes factor común: cos(2x), y queda:
cos(2x)*(cos(2x) - 1) = 0,
y por anulación de una multiplicación, observa que tienes dos opciones:
b₁)
cos(2x) = 0,
ahora compones con la función inversa del coseno, y queda:
2x = (2m + 1)π/2,
y de aqui despejas:
x = (2m + 1)π/4, con: m ∈ Z,
cuyos valores en el primer giro son: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4,
b₂)
cos(2x) - 1 = 0,
ahora sumas 1 en ambos miembros, y queda:
cos(2x) = 1,
a continuación compones con la función inversa del coseno, y queda:
2x = 2nπ,
y de aquí despejas:
x = nπ, con: n ∈ Z,
cuyos valores en el primer giro son: 0, π,
y como puedes apreciar, estos valores están consignados en la opción (a).
3°)
Observa que ordenas todos los valores que son solución para el primer giro, y queda:
0, π/4, π/2, 3π/4, π, 5π/4, 3π/2, 7π/4,
que son todos los múltimplos enteros de π/4, por lo que puedes concluir que el conjunto solución de la ecuación en estudio queda expresado:
S = { x = hπ/4, con: h ∈ Z }.
Espero haberte ayudado.