Yaser
Encuentra la integral doble cambiándola a coordenadas polares, donde R es la región del primer cuadrante delimitada por el círculo x2 + y2=4 y las rectas x=0 e y=x. Paso a paso, por favor. Gracias
Observa nuestra figura, en la que puedes apreciar que el recinto de integración D está limitado por:
- la circunferencia con centro (0;0) y radio igual a 2, cuya ecuación es: x² + y² = 4, cuya ecuación polar es: r = 2,
- la recta cuya ecuación es: y = x, cuya ecuación polar es: θ = π/4,
- el semieje OY positivo, cuya ecuación polar es: θ = π/2,
y como los "rayos nacen en el origen de coordenadas (polo) y finalizan en la circunferencia", entonces tienes que el recinto de integración D queda descrito por el sistema de inecuaciones dobles:
0 ≤ r ≤ 2,
π/4 ≤ θ ≤ π/2,
y recuerda la expresión polar del diferencial de área:
dA = r*dr*dθ.
Luego, tienes la expresión de la función a integrar:
f(x;y) = 2*x - y,
aquí sustituyes las expresiones polares para las variables cartesianas, y queda:
f(r;θ) = 2*r*cosθ + r*senθ,
ahora extraes factor común, y queda:
f(r;θ) = r*(2*cosθ + senθ).
Luego, vamos con la integral en estudio:
Va respuesta
∫∫D (2*x - y)*dA =
aquí aplicas el cambio a coordenadas polares, por lo que introduces los límites de integración, sustituyes expresiones, y queda.
= π/4∫π/2 0∫2 r*(2*cosθ - senθ)*r*dr*dθ =
ahora resuelves la expresión en el argumento, ordenas factores, y queda:
= π/4∫π/2 0∫2 (2*cosθ - senθ)*r²*dr*dθ =
a continuación integras con respecto a la variable "r" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= π/4∫π/2 [ (2*cosθ - senθ)*(1/3)*r³ ]*dθ =
aquí evalúas entre r = 0 y r = 2, y queda:
= π/4∫π/2 ( (2*cosθ - senθ)*(1/3)*2³ - (2*cosθ - senθ)*(1/3)*0³ )*dθ =
ahora resuelves el coeficiente en el primer término, cancelas el segundo término (oberva que es igual a cero), y queda:
= π/4∫π/2 (8/3)*(2*cosθ - senθ)*dθ =
a continuación integras con respecto a la variable "θ" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow, y observa que resolvemos el signo en el segundo término), y queda:
= [ (8/3)*(2*senθ + cosθ) ] =
aquí evalúas entre θ = π/4 y θ = π/2, y queda:
= (8/3)*(2*sen(π/2) + cos(π/2)) - (8/3)*(2*sen(π/4) + cos(π/4)) =
ahora reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
= (8/3)*(2*1 + 0) - (8/3)*(2*√(2)/2 + √(2)/2) =
a continuación resuelves lexpresiones en los agrupamientos, y queda:
= (8/3)*2 - (8/3)*3*√(2)/2 =
aquí resuelves expresiones en ambos términos, y queda:
= 16/3 - 4*√(2) =
ahora extraes denominador común, y queda:
= ( 16 - 12*√(2) )/3 =
a continuación extraes factor común en el numerador, y queda:
= 4*( 4 - 3*√(2) )/3.
Espero haberte ayudado.