Yaser
Encuentra la integral doble cambiándola a coordenadas polares. donde D es la mitad superior del disco con centro el origen y radio 5. Paso a paso, por favor. Gracias.
Observa nuestra figura, en la que tienes representado el recinto de integración D.
Observa que "los rayos nacen en el origen de coordenadas (polo), y finalizan en la circunferencia borde de radio 5", por lo que el intervalo de integración para la variable polar "r" queda expresado por la inecuación doble:
0 ≤ r ≤ 5.
Observa que "el primer rayo se encuntra sobre el semieje OX positivo, y que el último rayo se encuantra sobre el semieje OX negativo, por lo que el intervalo de integración parala variable polar "θ" queda expresado por la inecuación doble:
0 ≤ θ ≤ π.
Luego, tienes la expresión cartesiana de la función a integrar:
f(x;y) = x²*y,
aquí aplicas el cambio a coordenadas polares (recuerda: x = r*cosθ, y = r*senθ), y queda:
f(r;θ) = (r*cosθ)²*(r*senθ),
ahora resuelves esta expresión, y queda:
f(r;θ) = r³*(cosθ)²*senθ.
Luego, recuerda la expresión del diferencial de área en coordenadas polares:
dA = r*dr*dθ.
Luego, vamos con la integral en estudio:
∫∫D x²*y*dA =
aquí aplicas el cambio a coordenadas polares, introduces los límites de integración, sustituyes expresiones, y queda:
= 0∫π 0∫5 r³*(cosθ)²*senθ*r*dr*dθ =
ahora resuelves la expresión en el argumento, ordenas factores, y queda:
= 0∫π ( 0∫5 (cosθ)²*senθ*r⁴*dr )*dθ =
a continuación integras con respecto a la variable "r" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= 0∫π [ (cosθ)²*senθ)(1/5)*r⁵ ]*dθ =
aquí evalúas entre r = 0 y r = 5, y queda:
= 0∫π ( (cosθ)²*senθ*(1/5)*5⁵ - (cosθ)²*senθ*(1/5)*0⁵ )*dθ =
ahora resuelves el coeficiente en el primer término, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= 0∫π 625*(cosθ)²*senθ*dθ =
a continuación integras con respecto a la variable "θ" (tienes el Planteo Auxiliar correspondiente al final de nuestro desarrollo, y observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ -(625/3)*(cosθ)³ ] =
aquí evalúas entre θ = 0 y θ = π, y queda:
= -(625/3)*(cos(π))³ - ( -(625/3)*(cos(0))³ ) =
ahora reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
= -(625/3)*(-1)³ - ( -(625/3)*(1)³ ) =
a continuación resuelves expresiones en ambos términos, resuelves, y queda:
= 625/3 + 625/3 =
= 1250/3.
Planteo Auxiliar.
Considera la integral indefinida:
∫ 625*(cosθ)²*senθ*dθ =
------------------------------------------------------------------------------------------------------
aquí aplicas la sustitución (o cambio de variable):
w = cosθ (1),
que al diferenciar queda:
dw = -senθ*dθ,
ahora multiplicas en ambos miembros por -1, y queda:
-dw = -senθ*dθ (2),
------------------------------------------------------------------------------------------------------
a continuación sustituyes las expresiones que tienes en los primeros miembros en las ecuaciones numeradas (1) (2), y la integral indefinida queda:
= ∫ 625*w²*(-dw) =
aquí resuelves el coeficiente en el argumento, y queda:
= ∫ -625*w²*dw =
ahora integras con respecto a la variable auxiliar "w", y queda:
= -625*(1/3)*w³ + C =
a continuación resuelves el coeficiente en el primer término, y queda:
= -(625/3)*w³ + C =
aquí sustituyes la epresión señalada (1), y queda:
= -(625/3)*(cosθ)³ + C.
Espero haberte ayudado.