Duda integral doble

Vamos con una orientación.

Observa nuestra figura, en la que tienes representado el "recinto de integración" al que denominamos "D", y que correspondiente a tu integral doble.

Luego, observa que tu integral doble está expresada con coordenadas cartesianas, y que los intervalos de integración son:

1°)

-√(4 - y²) ≤ x ≤ √(4 - y²),

y aquí observa que tinees indicado que la región está limitada (observa que la variable "x" corresponde al eje horizontal OX):

- "por la izquierda" por la semicircunferencia cuya ecuación es: x = -√(4 - y²),

- "por la derecha" por la semicircunferencia cuya ecuación es: x = √(1 - y²), 

y observa que ambas semicircunferencias completan la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio igual a 2, cuya ecuación es: x² + y² = 4,

2°)

-2 ≤ y ≤ 2,

y ahora observa que para el recinto de integración "D" tienes:

- que "su punto más bajo" es (0;-2), cuya ordenada es: y = -2,

- que "su punto más alto" es (0;2), cuya ordenada es: y = 2. 

Luego, como la "forma" del recinto de integración D es un círculo, entonces es razonable considerar un cambioa coordenadas polares y, para visualizar los nuevos límites de integración, observa que hemos trazado "rayos" radiales desde el centro del recinto y observa:

- que "todos los rayos nacen en el origen de coordenadas (o "polo"), cuya expresión en coordenadas polares es: r = 0,

- que "todos los rayos finalizan en la circunferencia borde del recinto, cuya ecuación en coordenadas polares es: r = 2,

- que "el primer rayo se encuentra sobre el semieje OX positivo", cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = 0,

- que "el último rayo se encuentra sobre el semieje OX positivo", cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = 2π,

y con todo, tienes que el recinto de integración D queda descrito en coordenadas polares por las inecuaciones dobles:

0 ≤ r ≤ 2,

0 ≤ θ ≤ 2π, 

además, recuerda las expresiones de diferencial de área:

dA = dx*dy = dy*dx (en coordenadas cartesianas),

dA = r*dr*dθ (en coordenadas polares).

Luego, tienes la expresión de la función a integrar:

f(x;y) = (x² + y²)²,

aquí aplicas el cambio a coordenadas polares (observa que planteamos el cambio de coordenadas en forma similar a la que te mostramos en tu consulta anterior), y queda:

f(r;θ) = (r²)²,

ahora resuelves, y queda:

f(r;θ) = r⁴.

Luego, tienes la integral doble en estudio:  

_-2∫² _{-√(4 - y²)} ∫^√(4-x²) (x² + y²)*dx*dy =

aquí aplicas el cambio a coordenadas polares, y queda:

= ₀∫^2π ₀∫² r⁴*r*dr*dθ =

ahora resuelves la expresión en el argumento, y queda:

= ₀∫^2π ₀∫² r⁵*dr*dθ = 

ahora integras con respecto a la variable "r" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

= ₀∫^2π [ (1/6)*r⁶ ]*dθ = 

a continuación evalúas entre r = 0 y r = 2, y queda:

= ₀∫^2π ( (1/6)*2⁶ - (1/6)*0⁶ )*dθ = 

aquí resuelves la expresión en el primer término, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:

= ₀∫^2π (32/3)*dθ = 

ahora integras con respecto a la variable "θ" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

= [ (32/3)*θ ] = 

a continuación evalúas entre θ = 0 y θ = 2π, y queda:

= (32/3)*2π - (32/3)*0 =

aquí resuelves la expresión en el primer término, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:

= 64π/3. 

Espero haberte ayudado.