Duda integral doble

Vamos con una orientación.

Observa nuestra figura, en la que tienes representado el "recinto de integración" al que denominamos "D", y que correspondiente a tu integral doble.

Luego, observa que tu integral doble está expresada con coordenadas cartesianas, y que los intervalos de integración son:

1°)

0 ≤ y ≤ √(1 - x²),

y aquí observa que tinees indicado que la región está limitada (observa que la variable "y" corresponde al eje vertical OY):

- "por debajo" por la recta cuya ecuación es: y = 0, que consiste en el eje OX,

- "por arriba" por la curva cuya ecuación es: y = √(1 - x²), que consiste en la semicircunferencia "superior" con centro en el origen de coordenadas y radio igual a 1 (observa que en el segundo miembro tienes una raíz cuadrada positiva, y que si elevas al cuadrado en ambos miembros queda: y² = 1 - x², y al sumar x² en ambos miembros queda: x² + y² = 1, que es la ecuación de la circunferencia completa),

2°)

0 ≤ x ≤ 1,

y ahora observa que el recinto de integración "D" está limitado:

- "por la izquierda" por la recta cuya ecuación es: x = 0, que consiste en el eje OY,

- que el "punto que se encuentra más a la dercha" es el punto (1;0), cuya abscisa es: x = 1.

Luego, como la "forma" del recinto de integración D es un cuarto de círculo, entonces es razonable considerar un cambioa coordenadas polares y, para visualizar los nuevos límites de integración, observa que hemos trazado "rayos" radiales desde el centro del recinto y observa:

- que "todos los rayos nacen en el origen de coordenadas (o "polo"), cuya expresión en coordenadas polares es: r = 0,

- que "todos los rayos finalizan en la circunferencia borde del recinto), cuya ecuación en coordenadas polares es: r = 1,

- que "el primer rayo se encuentra sobre el semieje OX positivo", cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = 0,

- que "el último rayo se encuentra sobre el semieje OY positivo", cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = π/2,

y con todo, tienes que el recinto de integración D queda descrito en coordenadas polares por las inecuaciones dobles:

0 ≤ r ≤ 1,

0 ≤ θ ≤ π/2, 

además, recuerda las expresiones de diferencial de área:

dA = dx*dy = dy*dx (en coordenadas cartesianas),

dA = r*dr*dθ (en coordenadas polares).

Luego, tienes la expresión de la función a integrar, en coordenadas cartesianas:

f(x;y) = cos(x² + y²),

aquí aplicas el cambio a coordenadas polares (recuerda: x = r*cosθ, y = r*senθ), y queda:

f(r;θ) =cos( (r*cosθ)² + (r*senθ)² ),

ahora resuelves expresiones en ambos términos en el argumento, y queda:

f(r;θ) =cos( r²*(cosθ)² + r²*(senθ)² ), 

a continuación extraes factor común, y queda:

f(r;θ) =cos( r²*((cosθ)² + (senθ)²) ),  

aquí aplicas la identidad trigonométrica fundamental (o pitagórica), y queda:

f(r;θ) =cos( r²*1 ),  

ahora resuelves, y queda:

f(r;θ) =cos(r²).

Luego, tienes la integral doble en estudio: 

₀∫¹ ₀∫^√(1-x²) cos(x² + y²)*dy*dx =

aquí aplicas el cambio a coordenadas polares, y queda:

= ₀∫^π/2 ₀∫¹ cos(r²)*r*dr*dθ =

ahora integras con respecto a la variable "r" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow, y recuerda además la integral indefinida: ∫ cos(r²)*r*dr*dθ = (1/2)*sen(r²) + C, que puedes resolver en un cálculo auxiliar por medio de la sustitución, o cambio de variable: w = r²), y queda:

= ₀∫^π/2 [ (1/2)*sen(r²) ]*dθ = 

a continuación evalúas entre r = 0 y r = 1, y queda:

= ₀∫^π/2 ( (1/2)*sen(1²) - (1/2)*sen(0²) )*dθ = 

aquí resuelves la expresión en el primer término, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:

= ₀∫^π/2 (1/2)*sen(1)*dθ = 

ahora integras con respecto a la variable "θ" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

= [ (1/2)*sen(1)*θ ] = 

a continuación evalúas entre θ = 0 y θ = π/2, y queda:

= (1/2)*sen(1)*π/2 - (1/2)*sen(1)*0 =

aquí resuelves en el primer término, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:

= π*sen(1)/4,

y aquí recuerda que el argumento en la expresión trigonométrica es 1 radián.

Espero haberte ayudado.