Duda integral doble

Vamos con una orientación.

Observa nuestra figura, en la que tienes representado el "recinto de integración" al que denominamos "D", y que correspondiente a tu integral doble.

Luego, observa que tu integral doble está expresada con coordenadas cartesianas, y que los intervalos de integración son:

1°)

0 ≤ x ≤ √(4 - y²),

y aquí observa que tinees indicado que la región está limitada (observa que la variable "x" corresponde al eje horizontal OX):

- "por la izquierda" por la recta cuya ecuación es: x = 0, que consiste en el eje OX,

- "por la derecha" por la curva cuya ecuación es: x = √(1 - y²), que consiste en la semicircunferencia "derecha" con centro en el origen de coordenadas y radio igual a 2 (observa que en el segundo miembro tienes una raíz cuadrada positiva, y que si elevas al cuadrado en ambos miembros queda: y² = 4 - x², y al sumar x² en ambos miembros queda: x² + y² = 4, que es la ecuación de la circunferencia completa),

2°)

-2 ≤ y ≤ 2,

y ahora observa que para el recinto de integración "D" tienes:

- que "su punto más bajo" es (0;-2), cuya ordenada es: y = -2,

- que "su punto más alto" es (0;2), cuya ordenada es: y = 2. 

Luego, como la "forma" del recinto de integración D es un semicírculo, entonces es razonable considerar un cambioa coordenadas polares y, para visualizar los nuevos límites de integración, observa que hemos trazado "rayos" radiales desde el centro del recinto y observa:

- que "todos los rayos nacen en el origen de coordenadas (o "polo"), cuya expresión en coordenadas polares es: r = 0,

- que "todos los rayos finalizan en la circunferencia borde del recinto), cuya ecuación en coordenadas polares es: r = 2,

- que "el primer rayo se encuentra sobre el semieje OY negativo", cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = -π/2,

- que "el último rayo se encuentra sobre el semieje OY positivo", cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = π/2,

y con todo, tienes que el recinto de integración D queda descrito en coordenadas polares por las inecuaciones dobles:

0 ≤ r ≤ 2,

-π/2 ≤ θ ≤ π/2, 

además, recuerda las expresiones de diferencial de área:

dA = dx*dy = dy*dx (en coordenadas cartesianas),

dA = r*dr*dθ (en coordenadas polares).

Luego, tienes la expresión de la función a integrar:

f(x;y) = x² + y²,

cuya expresión en coordenadas polares es (aquí observa que planteamos el cambio de coordenadas en forma similar a la que te mostramos en tu consulta anterior):

f(r;θ) = r².

Luego, tienes la integral doble en estudio: 

_-2∫² ₀∫^√(4-x²) (x² + y²)*dx*dy =

aquí aplicas el cambio a coordenadas polares, y queda:

= _-π/2∫^π/2 ₀∫² r²*r*dr*dθ =

ahora resuelves la expresión en el argumento, y queda:

= _-π/2∫^π/2 ₀∫² r³*dr*dθ = 

ahora integras con respecto a la variable "r" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

= _-π/2∫^π/2 [ (1/4)*r⁴ ]*dθ = 

a continuación evalúas entre r = 0 y r = 2, y queda:

= _-π/2∫^π/2 ( (1/4)*2⁴ - (1/4)*0⁴ )*dθ = 

aquí resuelves la expresión en el primer término, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:

= _-π/2∫^π/2 4*dθ = 

ahora integras con respecto a la variable "θ" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

= [ 4*θ ] = 

a continuación evalúas entre θ = 0 y θ = π/2, y queda:

= 4*π/2 - 4*(-π/2) =

aquí resuelves expresiones en ambos términos, y queda:

= 2π + 2π =

= 4π. 

Espero haberte ayudado.