Yaser
Me gustaría saber cómo es esta integral doble. Gracias.
Vamos con una orientación.
Tienes tu integral doble (observa que ordenamos factores en su argumento, y que encerramos entre paréntesis a la primera integral, para destacar su resolución):
0∫π/2 ( 0∫sen(y) cos(y)*e2*x*dx )*dy =
aquí integras con respecto a la variable "x" (recuerda la integral indefinida: ∫ e2*x*dx = e2*x/2 + C), y queda:
= 0∫π/2 cos(y)*[ e2*x/2 ]*dy =
a continuación evalúas entre x = 0 y x = sen(y), y queda:
= 0∫π/2 cos(y)*( e2*sen(y)/2 - e2*0/2 )*dy =
ahora resuelves la expresión en el segundo término en el agrupamiento, y queda:
= 0∫π/2 cos(y)*( e2*sen(y)/2 - 1/2 )*dy =
aquí extraes distribuyes el factor común cos(y) en el argumento, y queda:
= 0∫π/2 ( cos(y)*e2*sen(y)/2 - (1/2)*cos(y) )*dy =
a continuación separas esta integral en términos, resuelves el coeficiente y ordenas términos en el argumento en el primer término, y queda:
= 0∫π/2 (1/2)*e2*sen(y)*cos(y)*dy - 0∫π/2 (1/2)*cos(y)*dy = (1)
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Planteo auxiliar.
Tienes la integral en tu primer término:
0∫π/2 (1/2)*e2*sen(y)*cos(y)*dy =
aquí planteas la sustitución (o cambio de variable):
w = 2*sen(y),
que al diferenciar queda:
dw = 2*cos(y)*dy,
y de aquí despejas:
(1/2)*dw = cos(y)*dy,
a continuación sustituyes expresiones (observa que señalamos a los límites de integracion en forma general), y queda:
= w₁∫w₂ (1/2)*ew*(1/2)*dw = w₁∫w₂ (1/4)*ew*dw = [ (1/4)*ew ] =
ahora sustituyes la expresión de la variable auxiliar "w", y queda:
= [ (1/4)*e2*sen(y) ] =
aquí evalúas entre y = 0 e y = π/2, y queda:
= (1/4)*e2*sen(π/2) - (1/4)*e2*sen(0) = (1/4)*e2*1 - (1/4)*e2*0 = (1/4)*e2 - (1/4)*e0 = (1/4)*e2 - 1/4.
Tienes la integral en su segundo término, cuya resolución es directa:
0∫π/2 (1/2)*cos(y)*dy = [ (1/2)*sen(y) ] = (1/2)*sen(π/2) - (1/2)*sen(0) = (1/2)*1 - (1/2)*0 = 1/2 - 0 = 1/2.
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a continuación sustituyes las expresiones remarcadas en lugar de las integrales señaladas (1), y queda:
= (1/4)*e2 - 1/4 - 1/2 =
aquí reduces los dos últimos términos, y queda:
= (1/4)*e2 - 3/4.
Espero haberte ayudado.
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