Yaser
El límite superior de integración en la primera integral es 4x. Gracias.
Aclarada la expresión del límite superior de integración en tu primera integral, al que consideramos: 4*x tal como tú lo consignas, y observa que este límite de integración corresponde a la variable "y" (recuerda: los límites de integración y el diferencial en una integral, no pueden estar expresados con una misma variable),
y sobre todo: te recomendamos consultes con tus docentes por el límite superior en la primera integral, porque es muy raro que se presente a los alumnos una integración con tantos inconvenientes.
Tienes tu integral doble:
0∫4 0∫4*x ( √(x*y)/2 )*dx*dy =
a continuación ordenas diferenciales, y queda:
= 0∫4 0∫4*x ( √(x*y)/2 )*dy*dx =
aquí resuelves el coeficiente y distribuyes la raíz cuadrada entre los dos factores que tienes en su argumento, y queda:
= 0∫4 0∫4*x (1/2)*√(x)*√(y)*dy*dx =
ahora expresas a las raíces cuadradas como potencias con exponentes fraccionarios, y queda (observa que encerramos entre paréntesis a la primera integral, a fin de destacar su resolución):
= 0∫4 ( 0∫4*x (1/2)*x1/2*y1/2*dy )*dx =
a continuación integras con respecto a la variable "y" (observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow, recuerda la integral indefinida: ∫ y1/2*dy = y3/2/(3/2) + C = (2/3)*y3/2 + C, y observa que los factores (1/2) y x1/2 son constantes en este paso), y queda:
= 0∫4 [ (1/2)*x1/2*(2/3)*y3/2 ]*dx =
aquí resuelves el coeficiente, y queda:
= 0∫4 [ (1/3)*x1/2*y3/2 ]*dx =
ahora evalúas entre y = 0 e y = 4*x, y queda:
= 0∫4 ( (1/3)*x1/2*(4*x)3/2 - (1/3)*x1/2*03/2 )*dx =
a contnuación distribuyes la potencia en el tercer factor en el primer término, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= 0∫4 (1/3)*x1/2*43/2*x3/2*dx =
ahora ordenas factores en el argumento, y queda:
= 0∫4 (1/3)*43/2*x1/2*x3/2*dx =
aquí resuelves la multiplicación con los dos primeros factores (observa que son numéricos), aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales con los dos factores siguientes, y queda:
= 0∫4 (8/3)*x2*dx =
aquí integras con respecto a la varibble "x", y queda:
= [ (8/3)*x3/3 ] =
ahora resuelves el coeficiente en el agrumento, y queda:
= [ (8/9)*x3 ] =
a continuación evalúas entre x = 0 y x = 4, y queda:
= (8/9)*43 - (8/9)*03 =
aquí resuelves expresiones en ambos términos, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= 512/9.
Espero haberte ayudado.
va respuesta...
o de la forma....