Yaser
Me gustaría saber cómo es esta integral doble. Gracias.
Aquí observa que tienes la expresión de una función compuesta en el argumento, por lo que vamos con un planteo por etapas:
1°)
Tienes tu inegral doble (observa que encerramos entre paréntesis a la primera integral, a fin de destacar su resolución):
1∫4 ( 0∫x √(x + y)*dy )*dx = (1),
2°)
ahora tienes tu primera integral:
0∫x √(x + y)*dy =
aquí expresas a la raíz cuadrada como una potencia con exponente fraccionario, y queda:
= 0∫x (x + y)1/2*dy = (2)
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planteo auxiliar:
y ahora puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):
w = x + y (2a),
aquí diferencias con respectoa a la variable "y", y queda:
dw = dy (2b)
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a continuación sustituyes las expresiones que tienes en los primeros miembros en las ecuaciones señaladas (2a) (2b), todo en la integral señalada (2) (observa que indicamos los límites de la integral con esta nueva variable "w" como w₁ y w₂), y queda:
= w₁∫w₂ w1/2*dw =
aquí integras (recuerda la integral indefinida: ∫ x1/2*dx = x3/2/(3/2) + C = (2/3)*x3/2 + C, y observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ (2/3)*w3/2 ] =
ahora sustituyes la expresión señalada (2a) en el argumento, y queda:
= [ (2/3)*(x + y)3/2 ] =
a continuación evalúas entre y = 0 e y = x, y queda:
= (2/3)*(x + x)3/2 - (2/3)*(x + 0)3/2 =
aquí resuelves expresiones en los argumentos de las potencias, y queda:
= (2/3)*(2*x)3/2 - (2/3)*x3/2 =
ahora distribuyes la potencia entre los dos factores que tienes en su base, en el primer término, y queda:
= (2/3)*23/2*x3/2 - (2/3)*x3/2 =
a continuación extraes factores comunes (2/3) y "x3/2", y queda:
= (2/3)*(23/2 - 1)*x3/2 (2c),
3°)
susituyes la expresión señalada (2c) en lugar de la primera integral, en la integral doble en estudio señalada (1), y queda:
= 1∫4 (2/3)*(23/2 - 1)*x3/2*dx =
aquí integras con respecto a la variable "x" (recuerda la integral indefinida: ∫ x3/2*dx = x5/2/(5/2) + C = (2/5)*x5/2 + C, observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow, y observa que el factor (23/2 - 1) es constante), y queda:
= [ (2/3)*(23/2 - 1)*(2/5)*x5/2 ] =
ahora evalúas entre x = 1 y x = 4, y queda:
= (2/3)*(23/2 - 1)*(2/5)*45/2 - (2/3)*(23/2 - 1)*(2/5)*15/2 =
a continuación resuelves las expresiones en los terceros factores en ambos términos, y queda:
= (2/3)*(23/2 - 1)*(2/5)*32 - (2/3)*(23/2 - 1)*(2/5)*1 =
aquí resuelves las multiplicaciones con los tres factores racionales que tienes en ambos términos, y queda:
= (23/2 - 1)*128/15 - (23/2 - 1)*(4/15) =
ahora extraes factor común (23/2 - 1), resuelves, y queda:
= (23/2 - 1)*(128/15 - 4/15) =
= (23/2 - 1)*124/15.
Espero haberte ayudado.