Yaser
Me gustaría saber cómo es esta integral doble. Gracias.
Tienes tu integral doble (consideramos que hay un error de imprenta en el límite de integración superior en tu primera integral, que consideramos que es igual a 4, pero si no llega a ser así nos lo confirmas, y veremos cómo ayudarte llegado el caso):
0∫4 0∫4 ( √(x*y)/2 )*dx*dy =
aquí resuelves el coeficiente y distribuyes la raíz cuadrada entre los dos factores que tienes en su argumento, y queda:
= 0∫4 0∫4 (1/2)*√(x)*√(y)*dx*dy =
= 0∫4 0∫4 (1/2)*√(x)*√(y)*dx*dy =
ahora expresas a las raíces cuadradas como potencias con exponentes fraccionarios, ordenas factores, y queda (observa que encerramos entre paréntesis a la primera integral, a fin de destacar su resolución):
= 0∫4 ( 0∫4 (1/2)*y1/2*x1/2*dx )*dy =
a continuación integras con respecto a la variable "x" (observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow, recuerda la integral indefinida: ∫ x1/2*dx = x3/2/(3/2) + C = (2/3)*x3/2 + C, y observa que los factores (1/2) e y1/2 son constantes en este paso), y queda:
= 0∫4 [ (1/2)*y1/2*(2/3)*x3/2 ]*dy =
aquí resuelves el coeficiente, y queda:
= 0∫4 [ (1/3)*y1/2*x3/2 ]*dy =
ahora evalúas entre x = 0 y x = 4, y queda:
= 0∫4 ( (1/3)*y1/2*43/2 - (1/3)*y1/2*03/2 )*dy =
a contnuación resuelves coeficientes en ambos términos, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= 0∫4 (8/3)*y1/2*dy =
aquí integras con respecto a la varibble "y" (recuerda la integral indefinida: ∫ y1/2*dy = y3/2/(3/2) + C = (2/3)*y3/2 + C, y observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ (8/3)*(2/3)*y3/2 ] =
ahora resuelves el coeficiente en el agrumento, y queda:
= [ (16/9)*y3/2 ] =
a continuación evalúas entre y = 0 e y = 4, y queda:
= (16/9)*43/2 - (16/9)*03/2 =
aquí resuelves expresiones en ambos términos, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= 128/9.
Espero haberte ayudado.