Yaser
Me gustaría saber cómo es esta integral. Paso a paso, por favor. Gracias.
Tienes tu integral doble:
0∫2 0∫1 3*y²*ex+y³*dx*dy =
a continuación aplicas la propiedad de una multiplicación de potencias con bases iguales en el factor exponencial, y queda:
= 0∫2 0∫1 3*y²*ex*ey³*dx*dy =
aquí extraes el primero, el segundo y el cuarto factor en la primera integral, y queda:
= 0∫2 3*y²*ey³* 0∫1 ex*dx *dy =
ahora integras con respecto a la variable "x" (inidicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= 0∫2 3*y²*ey³* [ ex ] *dy =
a continuación evalúas entre x = 0 y x = 1, y queda:
= 0∫2 3*y²*ey³* ( e1 - e0 ) *dy =
aquí resuelves la expresión en el agrupamitno y la extraes, ordenas factores, y queda:
= (e - 1)* 0∫2 ey³*3*y²*dy =
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Planteo auxiliar.
Tienes la integral definida remarcada:
0∫2 ey³*3*y²*dy =
y a continuación observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):
w = ey³,
aquí diferencias en ambos miembros, y queda:
dw = 3*y²*dy,
ahora sustituyes expresiones, y tu integral definida queda (recuerda que los límites de integración de la variable auxiliar "w" no tienen por qué ser los mismos límites que tiene asignados la variabl eoriginal "y"):
= w₁∫w₂ ew*dw =
a continuación integras (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ ew ] =
aquí sustituyes la expresión de la variable auxiliar "w", y queda:
= [ ey³ ] =
a continuación evalúas entre y = 0 e y = 2, y queda:
= e2³ - e0³ =
= e⁸ - e⁰ =
= e⁸ - 1.
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ahora reemplazas este último valor en lugar de la integral remarcada, y queda:
= (e - 1)*(e⁸ - 1).
Espero haberte ayudado.