Yaser
Me gustaría saber cómo esta integral. Paso a paso, por favor. Gracias.
Tienes tu integral doble:
1∫e 1∫e² ( Ln(x)/(x*y)*dy*dx =
a continuación ordenas expresiones en el argumento, y queda:
= 1∫e 1∫e² Ln(x)*(1/x)*(1/y)*dy*dx =
aquí extraes los dos primeros factores en la primera integral, y queda:
= 1∫e Ln(x)*(1/x)* 1∫e² (1/y)*dy *dx =
ahora integras con respecto a la variable "y" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= 1∫e Ln(x)*(1/x)* [ Ln(y) ] *dx =
a continuación evalúas entre y = 1 e y = e², y queda:
= 1∫e Ln(x)*(1/x)* ( Ln(e²) - Ln(1) ) *dx =
aquí resuelves la expresión en el agrupamiento (recuerda: Ln(e²) = 2 y Ln(1) = 0), y queda:
= 1∫e Ln(x)*(1/x)* 2 *dx=
ahora extraes el factor numérico, y queda:
= 2* 1∫e Ln(x)*(1/x)*dx =
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Planteo auxiliar.
Tienes la integral definida:
1∫e Ln(x)*(1/x)*dx =
y aquí observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):
w = Ln(x),
ahora diferencias en ambos miembros, y queda:
dw = (1/x)*dx,
a continuación sustituyes expresiones (recuerda que los límites de integración de la variable auxiliar "w" no tienen por qué ser los mismos límites para la variable "x"), y queda:
= w₁∫w₂ w*dw =
aquí integras (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ w²/2 ] =
ahora sustituyes la expresión de la variable auxiliar "w", y queda:
= [ (Ln(x))²/2 ] =
a contninuación evalúas entre x = 1 y x = e, y queda:
= ( Ln(e) )²/2 - ( Ln(1) )²/2 =
aquí resuelves expresiones en ambos términos (recuerda: Ln(e) = 1 y Ln(1) = 0), y queda:
= 1/2.
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a continuación reemplazas este valor en lugar de tu última integral, resuelves, y queda:
= 2 * 1/2 =
= 1.
Espero haberte ayudado.