Yaser
Me gustaría saber cómo es esta integral. Paso a paso, por favor. Gracias.
Tienes tu integral doble:
1∫5 0∫2 ( x/√(y + x²) )*dx*dy =
a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios en el denominador en el argumento, y queda:
= 1∫5 0∫2 ( x/(y + x²)1/2 )*dx*dy =
aquí aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos en el argumento, y queda:
= 1∫5 0∫2 x*(y + x²)-1/2 *dx*dy =
ahora observa que los cuatro límites de integración son numéricos, por lo que puedes permutar integrales y diferenciales, y queda la integral doble equivalente:
= 0∫2 1∫5 x*(y + x²)-1/2*dy*dx =
a continuación extraes el factor que tienes en el numerador fuera de la primera integral, y queda:
= 0∫2 x * 1∫5 (y + x²)-1/2*dy *dx =
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Primer planteo Auxiliar.
Tienes tu primera integral, con respecto a la variable "y":
1∫5 (y + x²)-1/2*dy =
y aquí observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):
w = y + x²,
a continuación diferencias con respecto a la variable "y" (observa que el segundo término es constante en este paso), y queda:
dw = dy,
ahora sustituyes expresiones, y tu primera integral queda (recuerda que los límites de integración de la variable "y" no tienen por qué ser los mimos límites para la variable auxiliar "w"):
= w₁∫w₂ w-1/2*dw =
a continuación integras (inidicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ 2*w1/2 ] =
aquí sustituyes la expresión de la variable auxiliar "w", y queda:
= [ 2*(y + x²)1/2 ] =
ahora evalúas entre y = 1 e y = 5, y queda:
= 2*(5 + x²)1/2 - 2*(1 + x²)1/2.
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a continuación sustituyes la expresión remarcada en lugar de tu primera integral, y queda:
= 0∫2 x * ( 2*(5 + x²)1/2 - 2*(1 + x²)1/2 ) *dx =
aquí dstribuyes el factor común en el argumento, y queda:
= 0∫2 ( x*2*(5 + x²)1/2 - x*2*(1 + x²)1/2 ) *dx =
ahora separas la integral en términos, y queda:
= 0∫2 x*2*(5 + x²)1/2*dx - 0∫2 x*2*(1 + x²)1/2 *dx =
a continuación ordenas factores en ambos argumentos, y queda:
= 0∫2 (5 + x²)1/2*2*x*dx - 0∫2 (1 + x²)1/2*2*x*dx =
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Segundo planteo Auxiliar.
Tienes tu integral en el primer término:
0∫2 (5 + x²)1/2*2*x*dx =
y aquí observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):
w = 5 + x²,
a continuación diferencias con respecto a la variable "y" (observa que el primer término es constante), y queda:
dw = 2*x*dx,
ahora sustituyes expresiones, y tu primera integral queda (recuerda que los límites de integración de la variable "y" no tienen por qué ser los mimos límites para la variable auxiliar "w"):
= w₁∫w₂ w1/2*dw =
a continuación integras (inidicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ (3/2)*w3/2 ] =
aquí sustituyes la expresión de la variable auxiliar "w", y queda:
= [ (3/2)*(5 + x²)3/2 ] =
ahora evalúas entre x = 0 y x = 2, y queda:
= (3/2)*(5 + 2²)3/2 - (3/2)*(5 + 0)3/2 =
= (3/2)*(9)3/2 - (3/2)*(5)3/2 =
aquí extraes factor común, y queda:
= (3/2)*(93/2 - 53/2) =
ahora resuelves el primer término en el agrupamiento, y queda:
= (3/2)*(27 - 53/2).
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a continuación reemplazas la expresión remarcada en lugar de la integral en tu primer término, y queda:
= (3/2)*(27 - 53/2) - 0∫2 (1 + x²)1/2*2*x*dx =
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Tercer planteo Auxiliar.
Tienes tu integral en el segundo término:
0∫2 (1 + x²)1/2*2*x*dx =
y aquí observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):
w = 1 + x²,
a continuación diferencias con respecto a la variable "y" (observa que el primer término es constante), y queda:
dw = 2*x*dx,
ahora sustituyes expresiones, y tu primera integral queda (recuerda que los límites de integración de la variable "y" no tienen por qué ser los mimos límites para la variable auxiliar "w"):
= w₁∫w₂ w1/2*dw =
a continuación integras (inidicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ (3/2)*w3/2 ] =
aquí sustituyes la expresión de la variable auxiliar "w", y queda:
= [ (3/2)*(1 + x²)3/2 ] =
ahora evalúas entre x = 0 y x = 2, y queda:
= (3/2)*(1 + 2²)3/2 - (3/2)*(1 + 0)3/2 =
= (3/2)*(5)3/2 - (3/2)*(1)3/2 =
aquí extraes factor común, y queda:
= (3/2)*(53/2 - 13/2) =
ahora resuelves el segundo término en el agrupamiento, y queda:
= (3/2)*(53/2 - 1).
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a continuación reemplazas la expresión remarcada en lugar de la integral en tu primer término, y queda:
= (3/2)*(27 - 53/2) - (3/2)*(53/2 - 1) =
aquí distribuyes factores comunes en ambos términos, y queda:
= 81/2 - (3/2)*53/2 - (3/2)*53/2 - 3/2 =
ahora reduces el primer y el cuarto término (observa que son semejantes), reduces el segundo y el tercer término (observa que también son semejantes), y queda:
= 42 - 3*53/2.
Espero haberte ayudado.