Duda integral

Tienes tu intergral indefinida:

∫ ( x*e^-x²+1 + e^2*x )*dx =

aquí separas la integral en términos, y queda:

= ∫ x*e^-x²+1*dx + ∫ e^2*x*dx = 

ahora ordenas expresiones en el primer término, y queda:

= ∫ e^-x²+1*x*dx + ∫ e^2*x*dx = (*)

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Primer planteo auxiliar.

Tienes tu primer término:

∫ e^-x²+1*x*dx =

aquí planteas la sustitución (o cambio de variable):

w = -x² + 1,

que al diferenciar queda:

dw = -2*x*dx,

ahora multiplicas por -(1/2) en ambos miembros, y queda:

-(1/2)*dw = x*dx,

a continuación sustituyes expresiones, y tu integral indefinida para este primer término queda:

= ∫ e^w*(-(1/2)*dw) = 

aquí extraes el factor constante, y queda:

= -(1/2) * ∫ e^w*dw =

ahora integras, y queda:

= -(1/2) * e^w + C₁ =

a continuación sustituyes, y queda:

= -(1/2)*e^{-x² + 1} + C₁ (1)

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Segundo planteo auxiliar.

Tienes tu segundo término:

∫ e^2*x*dx =

aquí planteas la sustitución (o cambio de variable):

w = 2*x,

que al diferenciar queda:

dw = 2*dx,

ahora multiplicas por (1/2) en ambos miembros, y queda:

(1/2)*dw = dx,

a continuación sustituyes expresiones, y tu integral indefinida para este segimdp término queda:

= ∫ e^w*(1/2)*dw =

aquí extraes el factor constante, y queda:

= (1/2) * ∫ e^w*dw =

ahora integras, y queda:

= (1/2) * e^w + C₂ =

a continuación sustituyes, y queda:

= (1/2)*e^2*x + C₂ (2)

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ahora sustituyes las expresiones señaladas (1) (2), en lugar del primer y del segundo término en la expresión señalada (*), y tu integral indefinida queda:

= -(1/2)*e^{-x² + 1} + C₁ + (1/2)*e^2*x + C₂ =

aquí ordenas términos, y queda:

= -(1/2)*e^{-x² + 1} + (1/2)*e^2*x + C₁ + C₂ = 

aquí observa que la suma de las constantes de integración en los términos es igual a una nueva constante, por lo que reduces sus expresiones en la forma: C₁ + C₂ = C, sustiuyes esta última expresión, y queda:

= -(1/2)*e^{-x² + 1} + (1/2)*e^2*x + C.

Espero haberte ayudado.