Yaser
Intenté hacer esta integral, pero no me sale. Gracias.
Vamos con una orientación, por medio de la sugerencia del colega Enrique en tu anterior entrada.
Observa que en el denominador tienes una raíz cuadrada, cuyo argumento es una expresión, por lo que puedes proponer la sustitución (o cambio de variable):
w = 3 + 2x3 (1),
ahora diferencias en ambos miembros, y queda:
dw = (0 + 2*3x2)*dx = 6x2*dx (2);
luego, tienes la integral en estudio:
∫ ( 6x2/√(3 + 2x3) )*dx = ∫ 6x2*dx/√(3 + 2x3) =
aquí sustituyes las expresiones que tienes en los primeros miembros en las igualdades señaladas (1) (2), y queda:
= ∫ dw/√(w) =
ahora aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios en el denominador (recuerda: √(w) = w1/2), y queda:
= ∫ dw/w1/2 =
a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos (recuerda: 1/w1/2 = w-1/2), y queda:
= ∫ w-1/2*dw =
ahora integras, y queda:
= w-1/2 + 1/(-1/2 + 1) + C = w1/2/(1/2) + C =
aquí resuelves la división de expresiones en el primer término, y queda:
= 2*w1/2 + C =
a continuación sustituyes la expresión que tienes en el segundo miembro en la igualdad señalada (1), y queda:
= 2*(3 + 2x3)1/2 + C =
y, si lo consideras conveniente, aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios en el primer término, y queda:
= 2*√(3 + 2x3) + C,
y tienes que estas dos últimas expresiones son equivalentes, y corresponden a la solución de tu integral.
Espero haberte ayudado.