Yaser
Me gustaría saber cómo es esta derivada por la regla del cociente. Paso a paso, por favor. Gracias.
Tienes las expresiones en el numerador y en el denominador:
u = 1 - 1/x², cuya derivadas tiene la expresión (recuerda: -1/x² = -x-2): u ' = -(-2)*x-3 = 2/x³,
v = x² - 1, cuya derivada tiene la expresión: v ' = 2*x - 0 = 2*x,
a continuació aplicas Regla del Cociente (recuerda: si y = u/v, entonces y ' = ( u ' * v - u * v ' ) / v²), y queda:
y ' = ( [2/x³]*[x² - 1] - [1 - 1/x²]*2*x ) / (x² - 1)².
Espero habete ayudado.
Luego, si te solicitan reducir esta expresión de la función derivada, entonces considera primero la expresión que tienes en su numerador:
[2/x³]*[x² - 1] - [1 - 1/x²]*2*x =
a continuación distribuyes en el perimer término, mantienes la resta, distribuyes en el segundo término, y queda:
= [2/x³]*x² - [2/x³]*1 - ( 1*2*x - [1/x²]*2*x ) =
aquí distribuyes el signo en el agrupamiento, y queda:
= [2/x³]*x² - [2/x³]*1 - 1*2*x + [1/x²]*2*x ) =
ahora simplificas en el primer término y en el cuarto término, resuelves coeficientes en todos los términos, y queda:
= 2/x - 2/x³ - 2*x + 2/x =
a continuación reduces el primer término y el cuarto término (observa que son semejantes), y queda:
= 4/x - 2/x³ - 2*x =
aquí mutiplicas y divides por x² en el primer término, multiplicas y divides por x³ en el tercer término, y queda:
= 4*x²/(x*x²) - 2/x³ - 2*x*x³/x³ =
ahora resuelves en el denominador en el primer término, resuelves en el numerador en el tercer término, y queda:
= 4*x²/x³ - 2/x³ - 2*x⁴/x³ =
a continuación extraes denominador común, y queda:
= (4*x² - 2 - 2*x⁴)/x³ =
aquí ordenas términos en el numerador, y queda:
= (-2*x⁴ + 4*x² - 2)/x³ =
ahora extraes factor común -2 en el numerdor, y queda:
= -2*(x⁴ - 2*x² + 1)/x³ =
a continuación factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el numerador, y queda:
= -2*(x² - 1)²/x³;
luego, sustituyes esta última expresión en la expresión de la función derivada que tienes en la última línea en la pantalla anterior, y queda:
y ' = [-2*(x² - 1)²/x³]/(x² - 1)²,
a continuación resuelves la división de expresiones, y queda:
y ' = -2*(x² - 1)²/[x³*(x² - 1)²],
aquí simplificas, y queda:
y ' = -2/x³.
Espero haberte ayudado.