Duda de un ejercicio resuelto

A ver si ayudamos a aclarar tu duda, ya que debemos hacer correcciones en nuestro desarrollo.

Observa que debemos tomar en cuenta las expresiones generales de la parte real y de la parte imaginaria, correspondientes al mapeo en estudio: w = 1/z:

u = x/(x² + y²) (1a),

v = -y/(x² + y²) (1b), 

a continuación observa que la región S es un sector circular, incluido en el tercer cuadrante, que está limitado por tres trazos:

1°)

C₁: segmento incluido en el semieje real negativo, descrito por la ecuación (observa que el número z_A = 0 es su extremo derecho y no pertenece a este segmento, y que z_B = -1/2 es su extremo izquierdo):

y = 0 (1*), con: -1/2 ≤ x < 0 (1**),

a continuación reemplazas el valor señalado (1*) en las ecuaciones señaladas (1a) (1b), resuelves en sus segundos miembros, y las expresiones de la parte real y de la parte imaginaria de la imagen de este segmento quedan expresadas:

u = 1/x,

v = 0, 

con:

-1/2 ≤ x < 0,

aquí compones con la función recíproca: g(x) = 1/x en los tres miembros (observa que cambian las desigualdades, y observa que la expresión "x" toma valores negativos), y queda:

-2 ≥ 1/x > -∞,

ahora sustituyes la expresión en el miembro central (observa que corresponde a la parte real de la imagen del segmento en estudio), y queda:

-2 ≥ u > -∞, 

a continuación expresas a esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda, y queda:

-∞ < u ≤ -2,

por lo que tienes que la imagen C₁' correspondiente a la imagen del segmento en estudio queda expresada por la ecuación:

v = 0, con: -∞ < u ≤ -2, 

y observa que consiste en una semirrecta incluida en el semieje real negativo, cuyo extremos son los números: w_B = -2 y w_A = -∞.  

2°)

C₂: segmento incluido en la semirrecta bisectriz del tercer cuadrante, descrito por la ecuación (observa que el número z_A = 0 es su extremo derecho y no pertenece a este segmento, y para determinar la expresión de su extremo izquierdo, puedes plantear la intersección de la semirrecta bisectriz del tercer cuadrante (cuya ecuación cartesiana es: y = x, con x < 0), con la circunferencia cuyo centro es el origen de coordenadas y cuyo radio es igual a 1/2 (cuya ecuación cartesiana canónica es: x² + y² = 1/4, con: x < 0 e y < 0), y queda el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

y = x (2a),

x² + y² = 1/4 (2b),

a continuación sustituyes la expresión señalada (2a) en el segundo términos en la ecuación señalada (2b), y queda:

x² + x² = 1/4,

aquí reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:

2*x² = 1/4,

ahora divides por 2 en ambos miembros, y queda:

x² = 1/8, 

a continuación compones con la función raíz cuadrada en ambos miembros (observa que elegimos la raíz negativa en el segundo miembro, que corresponde al tercer cuadrante), y queda:

x = -√(1/8),

aquí multiplicas por 2 en el numerador y en el denominador en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:

x = -√(2/16), 

ahora distribuyes la raíz en el segundo miembro, resuelves su denominador, y queda:

x = -√(2)/4, 

a continuación reemplazas este valor en la ecuación señalada (2a), y queda:

y = -√(2)/4,  

y de aquí tienes que el número complejo correspondiente al extremo izquierdo de este trazo queda expresado:

z_C = -√(2)/4 - i*√(2)/4 = -√(2)*(1 + i)/4),

y aquí observa que la parte real "x" toma valores comprendidos entre -√(2)/4 y 0, por lo que este trazo queda descrito por la ecuación:

y = x (2*), con: -√(2)/4 ≤ x < 0 (2**),

a continuación sustituyes la expresión señalada (2*) en las ecuaciones señaladas (1a) (1b), resuelves en sus segundos miembros, y las expresiones de la parte real y de la parte imaginaria de la imagen de este segmento quedan expresadas:

u = 1/(2*x),

v = -1/(2*x), 

ahora divides miembro a miembro la segunda ecuación entre la primera, simplficas, y queda:

v/u = -1,

y de aquí despejas:

v = -u,

a continuación compones con la función recíproca: g(x) = 1/x en los tres miembros en la inecuación doble señalada (2**) (observa que cambian las desigualdades, y observa que la expresión "x" toma valores negativos), y queda:

-4/√(2) ≥ 1/x > -∞,

aquí multiplicas por 1/2 en los tres miembros (observa que no cambian las desigualdades), y queda:

-2/√(2) ≥ 1/(2*x) > -∞, 

ahora resuelves en el primer miembro (recuerda: -2/√(2) = -(√(2))²/√(2) = simplficas = -√(2)), sustituyes la expresión en el miembro central (observa que corresponde a la parte real de la imagen del segmento en estudio), y queda:

-√(2) ≥ u > -∞, 

a continuación expresas a esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda, y queda:

-∞ < u ≤ -√(2),

por lo que tienes que la imagen C₁' correspondiente a la imagen del segmento en estudio queda expresada por la ecuación:

v = -u, con: -∞ < u ≤ -√(2), 

y observa que consiste en una semirrecta incluida en la semirrecta bisectriz del segundo cuadrante, cuyo extremos son los números: w_C = -√(2) + i*√(2) y w_A = -∞.  

3°)

C₃: arco de circunferencia incluido en el tercer cuadrante, descrito por la ecuación (observa que el número z_B = -1/2 = (1/2)_-π es su extremo izquierdo, y que z_C = -√(2)/4 - i*√(2)/4 = (1/2)_-3π/4 es su extremo derecho):

|z| = 1/2 (3*), con: -π ≤ θ ≤ -3π/4 (3**),

a continuación recuerda las expresión polar del módulo de la imagen, correspondiente al mapeo en estudio:

|w| = |z|^-1,

aquí reemplazas el valor señalado (3*), y queda:

|w| = (1/2)^-1,

ahora resuelves, y queda:

|w| = 2, 

a continuación multiplicas por -1 en los tres miembros en la inecuación doble señalada (3**), y queda (observa que cambian las desigualdades):

π ≥ -θ ≥ 3π/4,

a continuación sustituyes la expresión en el miembro central (observa que esta expresión corresponde al argumento de la imagen del arco en estudio: φ = -θ), y queda:

π ≥ φ ≥ 3π/4, 

aquí expresas a esta inecuacion doble tal como la lees de derecha a izquierda, y queda:

3π/4 ≤ φ ≤ π, 

por lo que tienes que la imagen C₃' correspondiente a la imagen del arco de circunferencia en estudio queda expresada por la ecuación:

|w| = 2, con: 3π/4 ≤ φ ≤ π, 

y observa que consiste en un arco de circunferencia incluido en el segundo cuadrante, cuyo extremos son los números: w_C = -√(2) + i*√(2) = 2_3π/4 y w_B = -2 = 2_π. 

Tienes una representación gráfica de la imagen S', correspondiente al sector circular S, en nuestra figura. 

Espero haberte ayudado.