Pol Serra
Hola,
El sistema de ecuaciones con 1 parámetro que se puede ver en la foto adjunta, si se resuelve y discute por el método de Gauss te sale que el parámetro "a" puede tomar valores 1 y 2. Pero en cambio, si se resuelve por el Teorema de Rouché, sale que el parámetro "a" puede tomar los valores, 1, 2 y -2.
Según tengo entendido se pueden hacer los dos métodos, pero si utilizamos el método del teorema de rouché se añade otro valor más al parámetro "a", que es el valor -2, y no entiendo porqué.
Si alguien sería tan amable de decirme porque me salen diferentes le estaría agradecido.
Muchas gracias.
Pol Serra
Vamos con una orientación.
Recuerda que al aplicar Método de Gauss, debes tener en cuenta que al multiplicar, o dividir, por expresiones que contengan al parámetro "a", éstas expresiones no pueden tomar el valor cero.
Observa que para a=-2 tienes que las expresiones (a+2) y (-a-2) quedan ambas iguales a 0.
A ver si ayudamos con la foto adjunta, tú nos dirás.
Sigo sin comprender de donde sale el a=-2.
Yo tengo entendido que una vez tenemos el sistema de ecuaciones escalonado por el metodo de Gauss, se cojen los valores con el parámetro que hay marcados en ls imagen adjunta y se igualan a 0, para ver que valores pueden ser el parametro, y luego se estudia que pasa si a=1 si a=2 o si a es diferente de 1 y 2.
Pero no entiendo como sale el valor -2, en que momento sale como número a valorar del parametro para discutirlo. Al menos es así como aprendí yo a hacerlo https://youtu.be/gCvcRWY-Y74?si=YqAP6WKykXNoWE3f
A ver si aclaramos tu duda.
Observa nuestra opción señalada (2), que corresponde al valor paramétrico a = -2, para el que planteas la expresión de la matriz ampliada escalonada del sistema, resuelves expresiones en sus elementos, y queda:
0 ................. 0 ................ 2 ...................... -3
0 ................. 1 ................ 4 ...................... -5
0 ................. 0 ............... 12 ..................... -3,
aquí a la tercera fila le restas la primer fila multiplicada por 6, y queda (observa que la primera columna es nula):
0 ................. 0 ................ 2 ...................... -3
0 ................. 1 ................ 4 ...................... -5
0 ................. 0 ................ 0 ..................... 15,
y ahora aplicas Teorema de Rouché-Frobenius, y tienes que el rango de la matriz del sistema es 2, y que el rango de la matriz ampliada es 3, por lo que puedes concluir que el sistema de ecuaciones es Incompatible para el valor paramétrico a = -2.
Con respecto a la expresión señalada, observa que en la anteúltima matriz tienes que el tercer elemento en la tercera fila tiene la expresión polinómica, que al factorizarla queda (observa que las raíces de la expresión polinómica son: a = 1 y a = 2):
a² - 3*a + 2 = (a - 1)*(a - 2).
Y por último, obseva que el primer elemento en la primera fila de la matriz ampliada, que trata el colega en su vídeo es numérico distinto de cero (es: 1), y es por este motivo que tratas a esta matriz en la forma "usual", en cambio, en el ejercicio que tú nos consultas, observa que el primer elemento en la primera fila es literal, es: (a + 2), y que toma el valor 0 para a = -2, y que toma valores distintos de cero para cualquier otro valor real del parámetro a, y es por este motivo que en la opción señalada (2) en nuestro desarrollo hacemos el estudio correspondiente para este sistema.
Espero haberte ayudado.