María José Lozano Chacón
Al resolver el ejercicio, me da que a=3 y a=5, pero no se si el 5 seria solución o no.
Adjunto rpta. Saludos.
Gráfico....
Vamos con una forma alternativa, en la que empleamos integración con funciones de una variable.
Observa el gráfico que te muestrea el colega Enrique, en el que tienes que la región en estudio está limitada "superiormente" por la gráfica de la función "f" que tienes coloreada con verde, y que está limitada "inferiormente" por una recta paralela al eje OY que tienes coloreada en rojo, a continuación planteas las ecuaciones de estas dos curvas, y queda el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
y = -x² + 4,
y = a,
aquí igualas expresiones, y queda:
a = -x² + 4,
ahora sumas x² y restas a en ambos miembros, y queda:
x² = 4 - a,
a continuación extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y tienes dos opciones:
x = -√(4 - a), que es la abscisa del vértice "izquierdo" de la región en estudio, cuya expresión es: A(-√(4 - a);a),
x = √(4 - a), que es la abscisa del vértice "derecho" de la región en estudio, cuya expresión es: B(√(4 - a);a);
luego, planteas la expresión del área limitada por las dos curvas, y queda:
A = -√(4 - a)∫√(4 - a) ( -x² + 4 - a )*dx,
a continuación integras (inidicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
A = [ -x³/3 + 4*x - a*x ] = [ -x³/3 + (4 - a)*x ],
aquí evalúas, y queda:
A = -(√(4 - a))³/3 + (4 - a)*√(4 - a) - ( -(-√(4 - a))³/3 + (4 - a)*(-√(4 - a)) ),
ahora resuelves expresiones en todos los términos (observa que resolvemos signos en ambos términos en el agrupamiento, y recuerda: √(4 - a)*(4 - a) = (4 - a)1/2*(4 - a)¹ = (4 - a)1/2+1 = (4 - a)3/2 = (√(4 - a))³), y queda:
A = -(√(4 - a))³)/3 + √(4 - a))³ - ( (√(4 - a))³)/3 - √(4 - a))³ ),
a continuación distribuyes el signo en el agrupamiento, y queda:
A = -(√(4 - a))³)/3 + √(4 - a))³ - (√(4 - a))³)/3 + √(4 - a))³,
aquí reduces términos (observa que los cuatro términos son semejantes), y queda:
A = 4*(√(4 - a))³)/3.
Luego, tienes la condición en estudio:
A = 4/3,
a continuación sustituyes la expresión del área de la región en estudio, y queda:
4*(√(4 - a))³)/3 = 4/3,
aquí divides por 4 y multiplicas por 3 en ambos miembros, y queda:
(√(4 - a))³ = 1,
ahora extraes raíz cúbica en ambos miembros, y queda:
√(4 - a) = 1,
a continuación elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:
4 - a = 1,
y de aquí despejas:
a = 3.
Espero haberte ayudado.
De eso trata el ejercicio, a mi entender, de encontrar y asumir el orden de integración más adecuado y el menos complejo o laborioso.