Aplicación del Cálculo

Tienes la expresión de la función correspondiente a la superficie de la colina:

h(x;y) = 6*e^{-(x² + y²)/6},

y observa que esta función es diferenciable en R², y que sus derivadas parciales primeras tienen las expresiones:

h_x(x;y) = -2*x*e^{-(x² + y²)/6}, 

h_y(x;y) = -2*y*e^{-(x² + y²)/6},  

y también observa que estas dos funciones están definidas y son continuas en R².

a)

Evalúas las expresiones de las derivadas parciales para el punto en estudio: A(1;1), y queda:

h_x(1;1) = -2*e^-1/3,

hy(1;1) = -2*e^-1/3,

por lo que tienes que la expresión del vector gradiente evaluado en el punto A queda:

∇h(1;1) = < -2*e^-1/3 ; -2*e^-1/3 >,

cuyo módulo tiene la expresión:

|∇h(1;1)| = 2*√(2)*e^-1/3.

a₁)

Como tienes que el hombre camina en línea recta desde el punto A(1;1) hasta el punto B(0;-2), entonces planteas la expresión del vector director correspondiente al segmento que recorre, y queda:

u = AB = < 0 - 1 ; -2 - 1 > = < -1 ; -3 >,

cuyo módulo tiene la expresión:

|u| = √(10),

a continuación planteas la expresión de la derivada de la función altura en la dirección del vector u (observa que la función es diferenciable, por lo que puedes aplicar "Fórmula del Gradiente"), y queda:

D_uf(1;1) = ∇h(1;1) • u/|u| = < -2*e^-1/3 ; -2*e^-1/3 > • < -1 ; -3 >/√(10),

ahora resuelves el pruducto escalar, a continuación resuelves la expresión, y queda:

D_uf(1;1) = (2*e^-1/3 + 6*e^-1/3)/√(10) = 8*e^-1/3/√(10) > 0,

y puedes concluir que el hombre está ascendiendo.

a₂)

Observa que el hombre debe tomar la "dirección de máxima disminución de la función altura", por lo que la expresión de la derivada en la dirección correspondiente es mínima y, como la puedes calcular con "Fórmula del Gradiente", entonces tienes que el producto escalar debe tomar su mínimo valor, y recuerda que esto ocurre cuando el gradiente evaluado en el punto correspondiente y el vector unitario dirección tienen sentidos opuestos, por lo que la expresión de dicho vector unitario, queda:

u_m = -∇h(1;1)/|∇h(1;1)| = -< -2*e^-1/3 ; -2*e^-1/3 >/(2*√(2)*e^-1/3) = -< -1/√(2) ; -1/√(2) > = < 1/√(2) ; 1/√(2) >,

que es la expresión del vector unitario correspondiente a la dirección de máxima disminución de la función altura en el punto: A(1;1).

b)

Vamos con una orientación.

Tienes la ecuación de la curva correspondiente a la proyección del camino sobre el plano XY:

x² + y² + x + y - 2 = 0,

que es la ecuación cartesiana implícita de una circunferencia (observa que su ecuación estándar es: (x + 1/2)² +(y + 1/2)² = 5/2, y que te mostramos su gráfica en la figura, en la que puedes observar que sus intersecciones con los ejes coordenados son los puntos: M(1;0), N(-2;0), Q(0;1) y R(0;-2)) , y observa que esta circunferencia es una curva de nivel de la función cuya expresión es:

g(x;y) = x² + y² + x + y - 2,

y aquí observa que esta función es diferenciable en R², y que su curva de nivel establece una restricción al dominio de la función altura,

a continuación planteas la expresión del gradiente de esta nueva función, y queda:

∇g(x;y) = < 2*x + 1 ; 2*y + 1 >,

ahora planteas la expresión del gradiente de la función altura, y queda:

∇h(x;y) = < -2*x*e^{-(x² + y²)/6} ; -2*y*e^{-(x² + y²)/6} >,

a continuación aplicas Método de los Multiplicadores de Lagrange, y queda el sistema de ecuaciones:

∇h(x;y) = λ*∇g(x;y),

g(x;y) = 0,

con el multiplicador: λ ∈ R, cuyos valores para los puntos críticos debes determinar,

a continuación sustituyes expresiones, descompones a la ecuación vectorial como dos ecuaciones cartesianas, y queda el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

-2*x*e^{-(x² + y²)/6} = λ*(2*x + 1) (1),

-2*y*e^{-(x² + y²)/6} = λ*(2*y + 1) (2), 

x² + y² + x + y - 2 = 0 (3), 

y ahora queda para ti:

1°)

verificar si los puntos M, N,Q y R son puntos críticos,

2°)

resolver el sistema de ecuaciones para todos los demás puntos de la circunferencia (aquí observa que para todos ellos tienes que las incógnitas "x" e "y" no toma el valor cero),

3°)

evaluar la expresión de la función altura para todos los puntos críticos que hayas determinado.

c)

Observa que el camino delimita un disco circular (D) incluido en el plano coordenado OXY, cuyo borde es la circunferencia cuya ecuación estándar es: (x + 1/2)² +(y + 1/2)² = 5/2, cuyo centro es el punto C(-1/2;-1/2), y cuyo radio es: r = √(5/2), a continuación planteas la expresión del área correspondiente a este disco, y queda:

A_D = π*R2 = π*[√(5/2)]² = 5π/2.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Gracias profesor, pero aun no comprendo muy bien el apartado b porque me piden la altura sobre el nivel del mar precisamente, los puntos M, N, Q y R no los obtengo como críticos. 

En el (c) lo que se pide es el área de la superficie de la colina sobre el mar, no la del circulo y esto no lo comprendo aun. Si pudiera explicarme, muchas gracias. 

b)

A ver si te ayudamos con este desarrollo.

Observa que en este apartado te piden determinar los puntos que pertenecen a la circunferencia, cuya "altura con respecto al nivel del mar" es máxima o mínima, por lo que resuelves el sistema conformado por las ecuaciones señaladas (1) (2) (3) y obtendrás los puntos críticos pertenecientes a la circunferencia, y los valores de sus multiplicadores; luego, tendrás que evaluar la expresión de la función altura para todos ellos, y determinar cuál corresponde a la altura máxima absoluta, y cuál corresponde a la altura mínima absoluta; luego, para resolver el sistema ten en cuenta que:

- los puntos M, N, Q y R corresponden a los valores: x = 0 o y = 0 y, como ya tienes determinado que estos cuatro puntos no son críticos, ya tienes también que las incógnitas "x" e "y" no toman el valor cero,

- si consideras que el multiplicador toma el valor cero, esto te conduce al punto O(0;0) que no pertenece a la circunferencia, por lo que ya tienes también que el multiplicador toma valores distintos de cero.

Adjunto respondo tu duda... 

Primero, inciso (b) 

Comprobando las alturas sobre nivel del mar con asistente. Aqui muestro los elementos del problema, isla, nivel del mar, el camino y los puntos extremos. No escribí el desarrollo paramétrico de la curva (camino) pues lleva más tiempo, solo lo grafico. El primer gráfico muestra los resultados, por eso filtro solo esos elementos. Luego, todo junto. 

El (c). Cálculo del área de la superficie sobre nivel del mar. 

Comprobación del resultado con asistente Mathcad.