Yaser
No sé empezar estas derivadas. Gracias.
1)
Observa que aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios, y la expresión de la función en etudio queda:
f(x) = (3/(3 - x))1/2,
a continuación distribuyes la potencia, entre el numerador y el denominador que tienes en su argumento, y queda:
f(x) = 31/2/(3 - x)1/2 (*),
a continuación vamos con las expresiones que tienes en el numerador y en el denominador, y con las expresiones de sus derivadas:
1°)
u = 31/2,
y como esta expresión es numérica, entonces tienes que su derivada queda expresada:
u' = 0,
2°)
v = (3 - x)1/2,
aquí aplicas Regla de la Cadena, y su derivada queda expresada:
v' = (1/2)*(3 - x)-1/2*(-1) = -(1/2)*(3 - x)-1/2;
luego, aplicas Regla del Cociente (recuerda: (u/v)' = (u'*v - u*v')/v2), y la expresión de la función derivada que tienes en estudio queda:
f ' (x) = (0*(3 - x)1/2 - 31/2*(-(1/2)*(3 - x)-1/2)/((3 - x)1/2)2,
a continuación cancelas el primer término en el numerador (observa que es igual a cero), resuelves el coeficiente en su segundo término, aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia (recuerda que debes multiplicar los exponentes) en el denominador, y queda:
f ' (x) = (31/2/2)*(3 - x)-1/2/(3 - x)1,
aquí aplicas la propiedad de una división de potencias con bases iguales (recuerda que debes restar los exponentes), y queda:
f ' (x) = (31/2/2)*(3 - x)-3/2,
ahora aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos en el último factor, y queda:
f ' (x) = (31/2/2)*(1/(3 - x)3/2),
a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios en el numerador en el primer factor, y en el denominador en el segundo factor, y queda:
f ' (x) = (√(3)/2)*(1/√((3 - x)3),
aquí resuelves la multiplicación de expresiones, y queda:
f ' (x) = √(3)/(2*√((3 - x)3)).
2)
Observa que aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios, y la expresión de la función en etudio queda:
f(x) = x1/2/(5 - x)1/2 (*),
a continuación vamos con las expresiones que tienes en el numerador y en el denominador, y con las expresiones de sus derivadas:
1°)
u = x1/2,
cuya derivada queda expresada:
u' = (1/2)*x-1/2,
2°)
v = (5 - x)1/2,
aquí aplicas Regla de la Cadena, y su derivada queda expresada:
v' = (1/2)*(5 - x)-1/2*(-1) = -(1/2)*(5 - x)-1/2;
luego, aplicas Regla del Cociente (recuerda: (u/v)' = (u'*v - u*v')/v2), y la expresión de la función derivada que tienes en estudio queda:
f ' (x) = ((1/2)*x-1/2*(5 - x)1/2 - x1/2*(-(1/2)*(5 - x)-1/2)/((5 - x)1/2)2,
a continuación resuelves el coeficiente en el segundo término en el numerador, aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia (recuerda que debes multiplicar los exponentes) en el denominador, y queda:
f ' (x) = ((1/2)*x-1/2*(5 - x)1/2 + (1/2)*x1/2*(5 - x)-1/2)/(5 - x)1.