Yaser
Determina la imagen del conjunto dado bajo el mapeo recíproco w=1/z en el plano complejo extendido. Paso a paso, por favor. Gracias.
el primero
2)
Tienes la ecucación de mapeo:
w = 1/z, y de aquí despejas: z = 1/w,
a continuación sustituyes esta última expresión en la ecuación de la circunferencia en estudio, y queda:
|1/w - 2| = 2,
aquí sustituyes la expresión de la imagen general en el primer miembro, y queda:
|1/(u + i*v) - 2| = 2,
ahora multiplicas por (u - i*v) en el numerador y en el denominador, en el primer término en el argumento, y queda:
|(u - i*v)/((u + i*v)*(u - i*v)) - 2| = 2,
a continuación resuelves la multiplicación en el denominador en el primer término, y queda:
|(u - i*v)/(u² + v²) - 2| = 2,
aquí distribuyes el denominador en el primer término, y queda:
|u/(u² + v²) - i*v/(u² + v²) - 2| = 2,
ahora ordenas términos en el argumento y asocias términos reales en el primer miembro, y queda:
|(u/(u² + v²) - 2) - i*v/(u² + v²)| = 2,
a conitnuación sustituyes la expresión del módulo del nuevo número complejo que tienes en el primer miembro, y queda:
√((u/(u² + v²) - 2)² + (-v/(u² + v²))²)= 2,
aquí elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:
(u/(u² + v²) - 2)² + (-v/(u² + v²))² = 4,
ahora desarrollas la resta elevada al cuadrado en el primer término, distribuyes la potencia en el segundo término, y queda:
u²/(u² + v²)² - 4*u/(u² + v²) + 4 + v²/(u² + v²)² = 4,
a continuación restas 4 en ambos miembros, y queda:
u²/(u² + v²)² - 4*u/(u² + v²) + v²/(u² + v²)² = 0,
aquí multiplicas por (u² + v²)² en todos los términos, y queda:
u² - 4*u*(u² + v²) + v²= 0,
ahora ordenas términos, y queda:
u² + v² - 4*u*(u² + v²) = 0,
a continuación asocias los dos primeros términos, y queda:
(u² + v²) - 4*u*(u² + v²) = 0,
aquí extraes factor común: (u² + v²), y queda:
(u² + v²)*(1 - 4*u) = 0,
ahora divides por (u² + v²) en ambos miembros, y queda:
1 - 4*u = 0,
y de aquí despejas:
u = 1/4,
que es la ecuación de una recta paralela al eje imaginario, que corta al eje real en: w = 1/4, y que es la imagen de la circunferencia que tienes en estudio.
4)
Tienes la ecucación de mapeo:
w = 1/z, y de aquí despejas: z = 1/w,
a continuación sustituyes esta última expresión en la ecuación de la circunferencia en estudio, y queda:
|1/w + 1/4| = 1/4,
aquí sustituyes la expresión de la imagen general en el primer miembro, y queda:
|1/(u + i*v) - 2| = 2,
ahora multiplicas por (u - i*v) en el numerador y en el denominador, en el primer término en el argumento, y queda:
|(u - i*v)/((u + i*v)*(u - i*v)) + 1/4| = 1/4,
a continuación resuelves la multiplicación en el denominador en el primer término, y queda:
|(u - i*v)/(u² + v²) - 2| = 2,
aquí distribuyes el denominador en el primer término, y queda:
|u/(u² + v²) - i*v/(u² + v²) + 1/4| = 1/4,
ahora ordenas términos en el argumento y asocias términos reales en el primer miembro, y queda:
|(u/(u² + v²) + 1/4) - i*v/(u² + v²)| = 1/4,
a conitnuación sustituyes la expresión del módulo del nuevo número complejo que tienes en el primer miembro, y queda:
√((u/(u² + v²) + 1/4)² + (-v/(u² + v²))²) = 1/4,
aquí elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:
(u/(u² + v²) + 1/4)² + (-v/(u² + v²))² = 1/16,
ahora desarrollas la resta elevada al cuadrado en el primer término, distribuyes la potencia en el segundo término, y queda:
u²/(u² + v²)² + (1/2)*u/(u² + v²) + 1/16 + v²/(u² + v²)² = 1/16,
a continuación restas 1/16 en ambos miembros, y queda:
u²/(u² + v²)² + (1/2)*u/(u² + v²) + v²/(u² + v²)² = 0,
aquí multiplicas por (u² + v²)² en todos los términos, y queda:
u² + (1/2)*u*(u² + v²) + v² = 0,
ahora ordenas términos, y queda:
u² + v² + (1/2)*u*(u² + v²) = 0,
a continuación asocias los dos primeros términos, y queda:
(u² + v²) + (1/2)*u*(u² + v²) = 0,
aquí extraes factor común: (u² + v²), y queda:
(u² + v²)*(1 + (1/2)*u) = 0,
ahora divides por (u² + v²) en ambos miembros, y queda:
1 + (1/2)*u = 0,
y de aquí despejas:
u = -2,
que es la ecuación de una recta paralela al eje imaginario, que corta al eje real en: w = -2, y que es la imagen de la circunferencia que tienes en estudio.
3)
Tienes la ecucación de mapeo:
w = 1/z, y de aquí despejas: z = 1/w,
a continuación sustituyes esta última expresión en la ecuación de la circunferencia en estudio, y queda:
|1/w + (1/3)*i| = 1/3,
aquí sustituyes la expresión de la imagen general en el primer miembro, y queda:
|1/(u + i*v) + (1/3)*i| = 1/3,
ahora multiplicas por (u - i*v) en el numerador y en el denominador, en el primer término en el argumento, y queda:
|(u - i*v)/((u + i*v)*(u - i*v)) + (1/3)*i| = 1/3,
a continuación resuelves la multiplicación en el denominador en el primer término, y queda:
|(u - i*v)/(u² + v²) + (1/3)*i| = 1/3,
aquí distribuyes el denominador en el primer término, y queda:
|u/(u² + v²) - i*v/(u² + v²) + (1/3)*i| = 1/3,
ahora extraes factor común "i" con los términos imaginarios, y queda:
|u/(u² + v²) + i*(-v/(u² + v²) + 1/3)| = 1/3,
a conitnuación sustituyes la expresión del módulo del nuevo número complejo que tienes en el primer miembro, y queda:
√((u/(u² + v²))² + (-v/(u² + v²) + 1/3)²) = 1/3,
aquí elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:
(u/(u² + v²))² + (-v/(u² + v²) + 1/3)² = 1/9,
ahora desarrollas la suma elevada al cuadrado en el segundo término, distribuyes la potencia en el primer término, y queda:
u²/(u² + v²)² + v²/(u² + v²)² - (2/3)*v/(u² + v²) + 1/9 = 1/9,
a continuación restas 1/9 en ambos miembros, y queda:
u²/(u² + v²)² + v²/(u² + v²)² - (2/3)*v/(u² + v²) = 0,
aquí multiplicas por (u² + v²)² en todos los términos, y queda:
u² + v² - (2/3)*v*(u² + v²) = 0,
ahora asocias los dos primeros términos, y queda:
(u² + v²) - (2/3)*v*(u² + v²) = 0,
aquí extraes factor común: (u² + v²), y queda:
(u² + v²)*(1 - (2/3)*v) = 0,
ahora divides por (u² + v²) en ambos miembros, y queda:
1 - (2/3)*v = 0,
y de aquí despejas:
v = 3/2,
que es la ecuación de una recta paralela al eje real, que corta al eje imaginario en: w = (3/2)*i, y que es la imagen de la circunferencia que tienes en estudio.
Espero haberte ayudado.