Yaser
Determina la imagen del conjunto dado S bajo el mareo w=1/z en el plano complejo extendido. Paso a paso, por favor. Gracias.
Escribe las regiones como inecuaciones y deepsek te lo resuelve
Vamos con consideraciones generales, antes de pasar a tus ejercicios, Yaser.
Tienes tu ecuación de mapeo:
w = 1/z = z-1 (*).
Luego, para números complejos expresados en forma binómica, queda:
w = 1/(x + i*y),
aquí multiplicas por (x - i*y) en el numerador y en el denominador, y queda:
w = (x - i*y)/((x + i*y)*(x - i*y)),
ahora resuelves la expresión en el denominador, y queda:
w = (x - i*y)/(x² + y²),
a continuación distribuyes el denominador común con los dos términos que tienes en el numerador, y queda:
w = x/(x² + y²) - i*y/(x² + y²),
que es tu ecuación de mapeo, para números complejos expresados en forma binómica, y observa que las expresiones generales de la parte imaginaria y de la parte real de la imagen correspondiente, quedan expresadas:
u = x/(x² + y²) (1a),
v = -y/(x² + y²) (1b),
y de aquí en más ten en cuenta estas expresiones, porque te resultarán de utilidad cuando debas considerar mapeos de rayos, segmentos, semirrectas o rectas, entre otras curvas.
Nuevamente, tienes tu ecuación de mapeo:
w = 1/z = z-1 (*).
Luego, para números complejos expresados en forma polar, queda:
w = (|z|θ)-1,
aquí aplicas Primera Fórmula de De Moivre (o Fórmula de las Potencias), y queda:
w = (|z|-1)-1*θ,
ahora resuelves la expresión en el argumento y queda:
w = (|z|-1)-θ,
que es tu ecuación de mapeo, para números complejos expresados en forma polar, y observa que las expresiones generales del módulo y del argumento de la imagen correspondiente, quedan expresadas:
|w| = |z|-1 (2a),
φ = -θ (2b),
y de aquí en más ten en cuenta estas expresiones, porque te resultarán de utilidad cuando debas considerar mapeos de arcos de circunferencias, cuyo centro sea z = 0.
1)
Tienes el sector circular S en tu figura de la izquierda, y vamos con sus tres lados por separado.
1°)
C₁: segmento incluido en el semieje real negativo, descrito por la ecuación (observa que el número zA = 0 es su extremo derecho y no pertenece a este segmento, y que zB = -1/2 es su extremo izquierdo):
x = 0 (1*), con: -1/2 ≤ x < 0 (1**),
a continuación reemplazas el valor señalado (1*) en las ecuaciones señaladas (1a) (1b), resuelves en sus segundos miembros, y las expresiones de la parte real y de la parte imaginaria de la imagen de este segmento quedan expresadas:
u = 1/x,
v = 0,
con:
-1/2 ≤ x < 0,
aquí compones con la función recíproca: g(x) = 1/x en los tres miembros (observa que cambian las desigualdades, y observa que la expresión "x" toma valores negativos), y queda:
-2 ≥ 1/x > -∞,
ahora sustituyes la expresión en el miembro central (observa que corresponde a la parte real de la imagen del segmento en estudio), y queda:
-2 ≥ u > -∞,
a continuación expresas a esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda, y queda:
-∞ < u ≤ -2,
por lo que tienes que la imagen C₁' correspondiente a la imagen del segmento en estudio queda expresada por la ecuación:
v = 0, con: -∞ < u ≤ -2,
y observa que consiste en una semirrecta incluida en el semieje real negativo, cuyo extremos son los números: wB = -2 y wA = -∞.
2°)
C₂: segmento incluido en la semirrecta bisectriz del tercer cuadrante, descrito por la ecuación (observa que el número zA = 0 es su extremo derecho y no pertenece a este segmento, y que zC = (1/2)*cos(-π/4) + i*(1/2)*sen(-π/4) es su extremo izquierdo, que al reemplazar valores exactos y resolver queda: zC = -√(2)/4 - i*√(2)/4 = -√(2)*(1 + i)/4):
y = x (2*), con: -√(2)/4 ≤ x < 0 (2**),
a continuación sustituyes la expresión señalada (2*) en las ecuaciones señaladas (1a) (1b), resuelves en sus segundos miembros, y las expresiones de la parte real y de la parte imaginaria de la imagen de este segmento quedan expresadas:
u = 1/(2*x),
v = -1/(2*x),
ahora divides miembro a miembro la segunda ecuación entre la primera, simplficas, y queda:
v/u = -1,
y de aquí despejas:
v = -u,
a continuación compones con la función recíproca: g(x) = 1/x en los tres miembros en la inecuación doble señalada (2**) (observa que cambian las desigualdades, y observa que la expresión "x" toma valores negativos), y queda:
-4/√(2) ≥ 1/x > -∞,
aquí multiplicas por 1/2 en los tres miembros (observa que no cambian las desigualdades), y queda:
-2/√(2) ≥ 1/(2*x) > -∞,
ahora resuelves en el primer miembro, sustituyes la expresión en el miembro central (observa que corresponde a la parte real de la imagen del segmento en estudio), y queda:
-√(2) ≥ u > -∞,
a continuación expresas a esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda, y queda:
-∞ < u ≤ -√(2),
por lo que tienes que la imagen C₁' correspondiente a la imagen del segmento en estudio queda expresada por la ecuación:
v = -u, con: -∞ < u ≤ -√(2),
y observa que consiste en una semirrecta incluida en la semirrecta bisectriz del tercer cuadrante, cuyo extremos son los números: wC = -√(2) + i*√(2) y wA = -∞.
3°)
C₃: arco de circunferencia incluido en el tercer cuadrante, descrito por la ecuación (observa que el número zB = -1/2 = (1/2)-π es su extremo izquierdo, y que zC = -√(2)/4 - i*√(2)/4 = (1/2)-3π/4 es su extremo derecho):
|z| = 1/2 (3*), con: -π ≤ θ ≤ -3π/4 (3**),
a continuación sustituyes la expresión señalada (3*) en la ecuación señalada (2a) (1b), resuelves en su segundo miembro, y queda:
|w| = (1/2)-1,
aquí resuelves en el segundo miembro, y queda:
|w| = 2,
ahora multiplicas por -1 en los tres miembros en la inecuación doble señalada (3**), y queda (observa que cambian las desigualdades):
π ≥ -θ ≥ 3π/4,
a continuación sustituyes la expresión en el miembro central (observa que, según la ecuación señalada (2b), tienes que esta expresión corresponde al argumento de la imagen del arco en estudio), y queda:
π ≥ φ ≥ 3π/4,
aquí expresas a esta inecuacion doble tal como la lees de derecha a izquierda, y queda:
3π/4 ≤ φ ≤ π,
por lo que tienes que la imagen C₃' correspondiente a la imagen del arco de circunferencia en estudio queda expresada por la ecuación:
|w| = 2, con: 3π/4 ≤ φ ≤ π,
y observa que consiste en un arco de circunferencia incluido en el tercer cuadrante, cuyo extremos son los números: wC = -√(2) + i*√(2) = 23π/4 y wB = -2 = 2π.
Tienes una representación gráfica de la imagen S' en nuestra figura.