Yaser
Determina la imagen del conjunto dado S bajo el mareo w=1/z en el plano complejo extendido. Paso a paso, por favor. Gracias.
1)
Tienes las expresiones generales de la parte real y de la parte imaginaria de la imagen de un número complejo, que te hemos mostrado en consultas tuyas anteriores:
u = x/(x² + y²) (1a),
v = -y/(x² + y²) (1b),
a continuación, vamos con cada borde de la banda en estudio:
1°)
C₁ (borde derecho), que es una recta paralela al eje imaginario, cuya ecuación es:
x = -1,
a continuación reemplazas este valor en las ecuaciones señaladas (1a) (1b), resuelves expresiones numéricas, y queda:
u = -1/(1 + y²),
v = -y/(1 + y²),
aquí mantienes la primera ecuación divides miembro a miembro la primera ecuación entre la segunda, y queda:
u = -1/(1 + y²),
u/v = 1/y, y de aquí despejas: y = v/u,
ahora sustituyes esta última expresión en la primera ecuación, y queda:
u = -1/(1 + (v/u)²),
a continuación resuelves la expresión en el denominador (observa que debes distribuir la potencia en su segundo término y después extraer denominador común), y queda:
u = -1/((u² + v²)/u²),
aquí resuelves la división de expresiones en el segundo miembro, y queda:
u = -u²/(u² + v²),
ahora divides por u en ambos miembros, multiplicas por (u² + v²) en ambos miembros, y queda:
u² + v² = -u,
a continuación sumas u y sumas 1/4 en ambos miembros, ordenas términos en el primer miembro, y queda:
u² + u + 1/4 + v² = 1/4,
aquí factorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:
(u + 1/2)² + v² = 1/4,
que es una ecuación de la imagen C₁' de la recta en estudio, y observa que consiste en una circunferencia cuyo centro es: w₁ = -1/2, y cuyo radio es: R₁ = 1/2.
2°)
C₂ (borde izquierdo), que es una recta paralela al eje imaginario, cuya ecuación es:
x = -2,
a continuación reemplazas este valor en las ecuaciones señaladas (1a) (1b), resuelves expresiones numéricas, y queda:
u = -2/(4 + y²),
v = -y/(4 + y²),
aquí mantienes la primera ecuación divides miembro a miembro la primera ecuación entre la segunda, y queda:
u = -2/(4 + y²),
u/v = 2/y, y de aquí despejas: y = 2*v/u,
ahora sustituyes esta última expresión en la primera ecuación, y queda:
u = -2/(4 + (2*v/u)²),
a continuación resuelves la expresión en el denominador (observa que debes distribuir la potencia en su segundo término y después extraer denominador común), y queda:
u = -2/((4*u² + 4*v²)/u²),
aquí resuelves la división de expresiones en el segundo miembro, y queda:
u = -2*u²/(4*u² + 4*v²),
ahora divides por u en ambos miembros, multiplicas por (4*u² + 4*v²) en ambos miembros, y queda:
4*u² + 4*v² = -2*u,
a continuación divides por 4 en todos los términos, y queda:
u² + v² = -(1/2)*u,
a continuación sumas (1/2)*u y sumas 1/16 en ambos miembros, ordenas términos en el primer miembro, y queda:
u² + (1/2)*u + 1/16 + v² = 1/16,
aquí factorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:
(u + 1/4)² + v² = 1/16,
que es una ecuación de la imagen C₂' de la recta en estudio, y observa que consiste en una circunferencia cuyo centro es: w₂ = -1/4, y cuyo radio es: R₁ = 1/4.
Luego, planteas a la imagen de la región S que tienes en estudio, como la región S' que está limitada por las dos circunferencias cuyas ecuaciones ya tienes determinadas.
Tienes la representación gráfica de la imagen en nuestra figura.