Yaser
No sé empezar estos ejercicios. Gracias.
Determina la imagen del conjunto bajo el mapeo recíproco w= 1/z en el plano complejo extendido.
Tienes las expresiones generales del módulo y del argumento de las imágenes, que te hemos mostrado en una consulta tuya anterior:
|w| = |z|-1 (2a),
φ = -θ (2b).
1)
Observa que tienes la región S en estudio, que consiste en una porción de corona circular (o "anillo") incluida en el primer y en el segundo cuadrante, descrita por las inecuaciones dobles:
1 ≤ |z| ≤ 4,
0 ≤ θ ≤ 2π/3,
aquí compones con la función recíproca: f(x) = 1/x en los tres miembros en la primera inecuación, multiplicas por -1 en los tres miembros en la segunda inecuación, y queda (observa que cambian las desigualdades en ambas inecuaciones dobles):
1 ≥ |z|-1 ≥ 1/4,
0 ≥ -θ ≥ -2π/3,
ahora sustituyes la expresión del módulo de la imagen en el miembro central en la primera inecuación, sustituyes la expresión del argumento de la imagen en la segunda inecuación, y queda:
1 ≥ |w| ≥ 1/4,
0 ≥ φ ≥ -2π/3,
ahora expresas a las dos inecuaciones tal como las lees de derecha a izquierda, y la imagen S' correspondiente a la región en estudio queda descrita:
1/4 ≤ |w| ≤ 1,
-2π/3 ≤ φ ≤ 0,
y observa que consiste en una porción de corona circular, incluida en el tercer y en el cuarto cuadrante.
2)
Observa que tienes la curva C en estudio, que consiste en una semirrecta (o "rayo") incluida en el primer cuadrante, que está descrita por la ecuación:
θ = π/4,
aquí multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:
-θ = -π/4,
ahora sustituyes la expresión del argumento de la imagen en el primer miembro, y queda:
φ = -π/4,
que es una ecuación que describe a la imagen C' de la curva en estudio, y observa que consiste en la semirrecta bisectriz del cuarto cuadrante.
Tienes las expresiones generales de la parte real y de la parte imaginaria de las imágenes, que te hemos mostrado en una consulta tuya anterior:
u = x/(x² + y²) (1a),
v = -y/(x² + y²) (1b).
4)
Tienes la curva C en estudio, que consiste en una recta paralela al eje real, cuya ecuación es:
y = 4,
a continuación sustituyes este último valor en las ecuaciones señaladas (1a) (2a), resuelves expresiones numéricas, y queda:
u = x/(x² + 16),
v = -4/(x² + 16),
ahora divides la primera ecuación entre la segunda y simplificas, mantienes la segunda ecuación, y queda:
u/v = -x/4, y de aquí despejas: x = -4*u/v (*),
v = -4/(x² + 16),
a continuación sustituyes la expresión señalada (*) en el denominador en la segunda ecuación, resuelves el primer término en dicho denominador, y queda:
v = -4/(16*u²/v² + 16),
aquí multiplicas en ambos miembros por (16*u²/v² + 16), y queda:
v*(16*u²/v² + 16) = -4,
ahora distribuyes en el primer miembro, simplificas en su primer término, y queda:
16*u²/v + 16*+v = -4,
a continuación multiplicas por v y divides por 16 en todos los términos, y queda:
u² + v² = -(1/4)*v,
aquí sumas (1/4)*v en ambos miembros, y queda:
u² + v² + (1/4)*v = 0,
ahora sumas 1/64 en ambos miembros, y queda:
u² + v² + (1/4)*v + 1/64 = 1/64,
a continuación factorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:
u² + (v + 1/8)² = 1/64,
que es la ecuación de la imagen C' de la curva en estudio, y observa que consiste en una circunferencia con centro wC = -(1/8)*i y radio R = 1/8, que también queda descrita por la ecuación compleja:
|w + (1/8)*i| = 1/8.
5)
Tienes la curva C en estudio, que consiste en una recta paralela al eje imaginario, cuya ecuación es:
x = 1/6,
a continuación sustituyes este último valor en las ecuaciones señaladas (1a) (2a), resuelves expresiones numéricas, y queda:
u = (1/6)/(1/36 + y²),
v = -y/(1/36 + y²),
ahora mantienes la primera ecuación, divides la primera ecuación entre la segunda y simplificas, y queda:
u = (1/6)/(1/36 + y²),
u/v = -1/(6*y), y de aquí despejas: y = -v/(6*u),
a continuación sustituyes esta última expresió en el denominador en la primera ecuación, resuelves el segundo término en dicho denominador, y queda:
u = (1/6)/(1/36 + v²/(36*u²),
aquí multiplicas en ambos miembros por (1/36 + v²/(36*u²), y queda:
u*(1/36 + v²/(36*u²) = 1/6,
ahora distribuyes en el primer miembro, simplificas en su segundo término, y queda:
(1/36)*u + v²/(36*u) = 1/6,
a continuación multiplicas por 36 y por u en todos los términos, y queda:
u² + v² = 6*u,
aquí restas 6*u en ambos miembros, ordenas términos, y queda:
u² - 6*u + v² = 0,
ahora sumas 9 en ambos miembros, ordenas términos en el primer miembro, y queda:
u² - 6*u + 9 + v² = 9,
a continuación factorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:
(u - 3)² + v² = 9,
que es la ecuación de la imagen C' de la curva en estudio, y observa que consiste en una circunferencia con centro wC = 3 y radio R = 3, que también queda descrita por la ecuación compleja:
|w - 3| = 3.
3)
Tienes la curva C en estudio, que es la unión de dos trazos rectos incluidos en el eje real, a los que consideramos por separado:
1°)
C₁, descrito por la ecuación:
y = 0 (*), con: -1 ≤ x ≤ 0 (**), y observa que la expresión "x" toma valores negativos,
a continuación reemplazas el valor señalado (*) en las expresiones genéricas de la parte real y de la parte imaginaria de la imagen señaladas (1a) (1b), resuelves, y queda:
u = 1/x,
v = 0,
a continuación compones con la función recíproc: g(x) = 1/x en los tres miembros en la inecuación doble señalada (**), y queda (observa que cambian las desigualdades:
-1 ≥ 1/x > -∞,
aquí sustituyes la expresión general de la parte real de la imagen en el miembro central, y queda:
-1 ≥ u > -∞,
aquí expresas a esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda, y queda:
-∞ < u ≤ -1,
y observa que tienes que la imagen C₁' correspondiente al segmento en estudio consiste en una semirrecta incluida en el semieje real negativo, cuyo extremo es el númro: w = -1, y que queda descrita:
v = 0, con: -∞ < u ≤ -1.
2°)
C₂, descrito por la ecuación:
y = 0 (*), con: 0 < x ≤ 1 (**), y observa que la expresión "x" toma valores positivos,
a continuación reemplazas el valor señalado (*) en las expresiones genéricas de la parte real y de la parte imaginaria de la imagen señaladas (1a) (1b), resuelves, y queda:
u = 1/x,
v = 0,
a continuación compones con la función recíproc: g(x) = 1/x en los tres miembros en la inecuación doble señalada (**), y queda (observa que cambian las desigualdades):
+∞ > 1/x ≥ 1,
aquí sustituyes la expresión general de la parte real de la imagen en el miembro central, y queda:
+∞ > u ≥ 1,
aquí expresas a esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda, y queda:
1 ≤ u < +∞,
y observa que tienes que la imagen C₂' correspondiente al segmento en estudio consiste en una semirrecta incluida en el semieje real positivo, cuyo extremo es el númro: w = 1, y que queda descrita:
v = 0, con: 1 ≤ u < +∞.
Luego, puedes concluir que la imagen C' en estudio es la unión de las dos semirrectas que tienes determinadas.
Espero haberte ayudado.