Yaser
No sé empezar estos ejercicios. Gracias.
Determina la imagen del conjunto bajo el mapeo recíproco w= 1/z en el plano complejo extendido.
Vamos con una orientación.
Planteas la expresión de la función de mapeo, y queda:
f(z) = 1/z = z-1,
a continuación sustituyes la expresión del número complejo genérico en forma polar, y queda:
f(z) = (|z|θ)-1,
aqui aplicas Primera Fórmula de De Moivre (recuerda que debes elevar el módulo y multiplicar el argumento, con el exponente de la potencia), y queda:
f(z) = |z|-1-θ,
a continuación planteas la ecuación de mapeo, en forma polar, y queda:
w = |z|-1-θ (*), con: -π < θ ≤ π, z ≠ 0.
1)
Tienes la circunferencia en estudio, cuyos números tienen la expresión general:
z = 5θ, con: -π ≤ θ ≤ π,
a continuación planteas la expresión del módulo de la imagen, y queda:
|w| = |z|-1 = 5-1 = 1/5,
a continuación multiplicas por -1 en los tres miembros en la inecuación doble que determina los argumentos (observa que cambian las desigualdades), y queda:
π ≥ -θ ≥ -π,
a continuación planteas esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda (observa que designamos con φ al argumento genérico de las imágenes), y queda:
-π ≤ φ ≤ π,
aquí planteas la expresión general para la imagen C', y queda:
|w| =1/5, con: -π ≤ φ ≤ π,
y observa que corresponde a una circunferencia, con centro w = 0 y radio 1/5.
2)
Tienes la semicircunferencia en estudio, cuyos números tienen la expresión general:
z = (1/2)θ, con: π/2 ≤ θ ≤ 3π/2,
a continuación planteas la expresión del módulo de la imagen, y queda:
|w| = |z|-1 = (1/2)-1 = 2,
a continuación multiplicas por -1 en los tres miembros en la inecuación doble que determina los argumentos (observa que cambian las desigualdades), y queda:
-π/2 ≥ -θ ≥ -3π/2,
a continuación planteas esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda (observa que designamos con φ al argumento genérico de las imágenes), y queda:
-3π/2 ≤ -θ ≤ -π/2
-3π/2 ≤ φ ≤ -π/2,
aquí planteas la expresión general para la imagen C', y queda:
|w| =2, con: -3π/2 ≤ φ ≤ -π/2,
y observa que corresponde a una circunferencia, con centro w = 0 y radio 2, ubicada en el segundo y en el tercer cuadrante.
3)
Tienes la semicircunferencia en estudio, cuyos números tienen la expresión general:
z = 3θ, con: -π/4 ≤ θ ≤ 3π/4,
a continuación planteas la expresión del módulo de la imagen, y queda:
|w| = |z|-1 = 3-1 = 1/3,
a continuación multiplicas por -1 en los tres miembros en la inecuación doble que determina los argumentos (observa que cambian las desigualdades), y queda:
π/4 ≥ -θ ≥ -3π/4,
a continuación planteas esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda (observa que designamos con φ al argumento genérico de las imágenes), y queda:
-3π/4 ≤ -θ ≤ π/4,
-3π/4 ≤ φ ≤ π/4,
aquí planteas la expresión general para la imagen C', y queda:
|w| = 1/3, con: -3π/4 ≤ φ ≤ π/4,
y observa que corresponde a una semicircunferencia, con centro w = 0 y radio 1/3, ubicada en el primer y en el cuarto cuadrante.
4)
Tienes la semicircunferencia en estudio, cuyos números tienen la expresión general:
z = (1/4)θ, con: π/2 ≤ θ ≤ π,
a continuación planteas la expresión del módulo de la imagen, y queda:
|w| = |z|-1 = (1/4)-1 = 4,
a continuación multiplicas por -1 en los tres miembros en la inecuación doble que determina los argumentos (observa que cambian las desigualdades), y queda:
-π/2 ≥ -θ ≥ -π,
a continuación planteas esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda (observa que designamos con φ al argumento genérico de las imágenes), y queda:
-π ≤ -θ ≤ -π/2,
-π ≤ φ ≤ -π/2,
aquí planteas la expresión general para la imagen C', y queda:
|w| = 4, con: -π ≤ φ ≤ -π/2,
y observa que corresponde a un cuarto de circunferencia, con centro w = 0 y radio 4, ubicada en el tercer cuadrante.
5)
Tienes la corona circular (o "anillo" circular) S, descrito por la inecuación doble:
1/3 ≤ |z| ≤ 2, con: -π ≤ θ ≤ π,
cuyos bordes son las circunferncias:
C₁:
|z| = 1/3, con: -π ≤ θ ≤ π,
C₂:
|z| = 2, con: -π ≤ θ ≤ π,
y a continuación procedemos al mapeo de cada borde por separado.
1°)
Tienes la primera circunferencia en estudio, cuyos números tienen la expresión general:
z = (1/3)θ, con: -π ≤ θ ≤ π,
a continuación planteas la expresión del módulo de la imagen, y queda:
|w| = |z|-1 = (1/3)-1 = 3,
a continuación multiplicas por -1 en los tres miembros en la inecuación doble que determina los argumentos (observa que cambian las desigualdades), y queda:
π ≥ -θ ≥ -π,
a continuación planteas esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda (observa que designamos con φ al argumento genérico de las imágenes), y queda:
-π ≤ φ ≤ π,
aquí planteas la expresión general para la imagen C₁', y queda:
|w| =3, con: -π ≤ φ ≤ π,
y observa que corresponde a una circunferencia, con centro w = 0 y radio 3.
2°)
Tienes la segunda circunferencia en estudio, cuyos números tienen la expresión general:
z = 2θ, con: -π ≤ θ ≤ π,
a continuación planteas la expresión del módulo de la imagen, y queda:
|w| = |z|-1 = 2-1 = 1/2,
a continuación multiplicas por -1 en los tres miembros en la inecuación doble que determina los argumentos (observa que cambian las desigualdades), y queda:
π ≥ -θ ≥ -π,
a continuación planteas esta inecuación doble tal como la lees de derecha a izquierda (observa que designamos con φ al argumento genérico de las imágenes), y queda:
-π ≤ φ ≤ π,
aquí planteas la expresión general para la imagen C', y queda:
|w| =1/2, con: -π ≤ φ ≤ π,
y observa que corresponde a una circunferencia, con centro w = 0 y radio 1/2.
Luego, observa que la primera circunferencia es el borde interior de la corona, y que la segunda es su borde exterior, y también observa qu la imagen S' de la corona circular es también una corona, que queda descrita por la inecuación doble:
1/2 ≤ |w| ≤ 3, con: -π ≤ φ ≤ π.
Espero haberte ayudado.