Yaser
Evalúa la función compleja f dada en los puntos indicados. Paso a paso, por favor. Gracias.
1)
Aquí recuerda Fórmula de Euler:
ek*i = cos(k) + sen(k)*i, en la que "k" es un número real.
1a)
Tienes la expresión de a función:
f(z) = ez,
y tienes la expresión del número complejo en estudio: z = 2 - π*i,
por lo que reemplazas su expresión, y la expresión de la función evaluada queda:
f(2 - π*i) = e2 - π*i ,
a continuación aplicas la propiedad de división de potencias con bases iguales, y queda:
f(2 - π*i) = e2/eπ*i,
aquí aplicas Fórmula de Euler en el denominador, y queda:
f(2 - π*i) = e2/(cos(π) + sen(π)*i),
ahora reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
f(2 - π*i) = e2/(-1 + 0*i),
a continuación cancelas el término imaginario en el denominador, resuelves, y queda:
f(2 - π*i) = -e2.
1b)
Tienes la expresión de a función:
f(z) = ez,
y tienes la expresión del número complejo en estudio: z = (π/3)*i,
por lo que reemplazas su expresión, y la expresión de la función evaluada queda:
f((π/3)*i) = e(π/3)*i ,
aquí aplicas Fórmula de Euler en el denominador, y queda:
f((π/3)*i) = (cos(π/3) + sen(π/3)*i),
ahora reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
f((π/3)*i) = 1/2 + (√(3)/2))*i.
1c)
Tienes la expresión de a función:
f(z) = ez,
y tienes la expresión del número complejo en estudio: z = 2 - (5π/6)*i,
por lo que reemplazas su expresión, y la expresión de la función evaluada queda:
f(2 - (5π/6)*i) = e2 - (5π/6)*i ,
a continuación aplicas la propiedad de división de potencias con bases iguales, y queda:
f(2 - (5π/6)*i) = e2/e(5π/6)*i,
aquí aplicas Fórmula de Euler en el denominador, y queda:
f(2 - (5π/6)*i) = e2/(cos(5π/6) + sen(5π/6)*i),
ahora reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
f(2 - (5π/6)*i) = e2/(- √(3)/2 + (1/2)*i),
aquí multiplicas por (- √(3)/2 - (1/2)*i) en el numerador y en el denominador, y queda:
f(2 - (5π/6)*i) = e2*(- √(3)/2 - (1/2)*i)/((- √(3)/2 + (1/2)*i)*(- √(3)/2 - (1/2)*i)),
ahora distribuyes en el denominador, y queda:
f(2 - (5π/6)*i) = e2*(- √(3)/2 - (1/2)*i)/(3/4 + (√(3)/4)*i - (√(3)/4)*i - (1/4)*i2),
a continuación resuelves la expresión en el último término en el denominador, y queda:
f(2 - (5π/6)*i) = e2*(- √(3)/2 - (1/2)*i)/(3/4 + (√(3)/4)*i - (√(3)/4)*i + 1/4),
aquí reduces términos semejantes en el denominador (observa que tienes cancelaciones), y queda:
f(2 - (5π/6)*i) = e2*(- √(3)/2 - (1/2)*i)/1,
ahora resuelves el coeficiente, y queda:
f(2 - (5π/6)*i) = e2*(- √(3)/2 - (1/2)*i),
a continuación distribuyes, y queda:
f(2 - (5π/6)*i) = -(1/2)*e2*√(3) - (1/2)*e2*i,
que esl el valor de la función evaluada, expresado en forma binómica, para el número complejo que tienes en estudio.