¿Alguna ayuda?

Solo es hacer las operaciones indicadas por f(z) te hago un par y el trabajo restante lo intentas tú

1c)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = z²*z_c - 2*i,

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = 3 - 2*i, y queda:

f(3 - 2*i) = (3 - 2*i)²*(3 - 2*i)_c - 2*i (*), 

aqui planteas la expresión del conjugado del número complejo en estudio, y queda: 

z_c = (3 - 2*i)_c = 3 + 2*i (1), 

ahora planteas la expresón del cudrado del número complejo en estudi, y queda: 

z² = (3 - 2*i)² = 3² - 2*3*2*i + (2*i)² = 9 - 12*i + 4*i² = 9 - 12*i + (-4) = 5 - 12*i (2),

a continuación reemplazas las expresiones señaladas (2) (1) en la expresión de la función evaluada señalada (*), y queda:

f(3 - 2*i) = (5 - 12*i)*(3 + 2*i) - 2*i,

aquí distribuyes en el primer término, y queda:

f(3 - 2*i) = 15 + 10*i - 36*i - 24*i² - 2*i = 15 + 10*i - 36*i + 24 - 2*i = 39 -28*i. 

2a)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = -z³ + 2*z + z_c,

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = i, y queda:

f(i) = -i³ + 2*i + i_c, (*), 

aqui planteas la expresión del conjugado del número complejo en estudio, y queda: 

z_c = (i)_c = -i (1), 

ahora planteas la expresón del cudrado del número complejo en estudi, y queda: 

z³ = i³ = -i (2),

a continuación reemplazas la expresión del número complejo en estudio, y las expresiones señaladas (2) (1), todo en la expresión de la función evaluada señalada (*), y queda:

f(i) = -(-i) + 2*i + (-i),

aquí resuelves signos en el primer y en el tercer término, y queda:

f(i) = i + 2*i - i,

ahora reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), y queda:

f(i) = 2*i.  

2b)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = -z³ + 2*z + z_c,

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = 2 - i, y queda:

f(2 - i) = -(2 - i)³ + 2*(2 - i) + (2 - i)_c, (*), 

aqui planteas la expresión del conjugado del número complejo en estudio, y queda: 

z_c = (2 - i)_c = 2 + i (1), 

ahora planteas la expresón del cudrado del número complejo en estudi, y queda: 

z³ = (2 - i)³ = 2³ + 3*2²*(-i) + 3*2*(-i)² + (-i)³ = 8 - 12*i + 3*2*i² - i³ = 8 - 12*i + 6*(-1) - (-i) = 2 - 11*i (2),

a continuación reemplazas la expresión del número complejo en estudio, y las expresiones señaladas (2) (1), todo en la expresión de la función evaluada señalada (*), y queda:

f(2 - i) = -(2 - 11i) + 2*(2 - i) + 2 + i,

aquí distribuyes en el primer y en el segundo término, y queda:

f(2 - i) = -2 + 11*i + 4 - 2*i + 2 + i,

ahora reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), y queda:

f(2 - i) = 4 + 10*i.  

2c)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = -z³ + 2*z + z_c,

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = 1 + 2*i y queda:

f(1 + 2*i) = -(1 + 2*i)³ + 2*(1 + 2*i) + (1 + 2*i)_c, (*), 

aqui planteas la expresión del conjugado del número complejo en estudio, y queda: 

z_c = (1 + 2*i)_c = 1 - 2*i (1), 

ahora planteas la expresón del cudrado del número complejo en estudi, y queda: 

z³ = (1 + 2*i)³ = 1³ + 3*1²*2*i + 3*1*(2*i)² + (2*i)³ = 1 + 6*i + 12*i² + 8*i³ = 1 + 6*i + 12*(-1) + 8*(-i) = -11 - 2*i (2),

a continuación reemplazas la expresión del número complejo en estudio, y las expresiones señaladas (2) (1), todo en la expresión de la función evaluada señalada (*), y queda:

f(1 + 2*i) = -(-11 - 2*i) + 2*(1 + 2*i) + 1 - 2*i,

aquí distribuyes en el primer y en el segundo término, y queda:

f(1 + 2*i) = 11 + 2*i + 2 + 4*i + 1 - 2*i,

ahora reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), y queda:

f(1 + 2*i) = 14 + 4*i.  

3a)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = Log_e(|z|) + i*Arg(z),

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = 1, y queda: 

f(1) = Log_e(|1|) + i*Arg(1), 

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Planteos auxiliares.

Observa que el número complejo en estudio: z = 1 se encuentra en el semieje real positivo, por lo que tienes:

- que su módulo es: |1| = 1 (1), 

- que su argumento principal es: Arg(1) = 0 (2).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

aquí reemplazas las expresiones señaladas (1) (2) en la expresión de la función evaluada, y queda:

f(1) = Log_e(1) + i*0, 

ahora resuelves en el primer término (recuerda: Loge(1) = 0), cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:

f(1) = 0. 

3b)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = Log_e(|z|) + i*Arg(z),

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = 4*i, y queda: 

f(4*i) = Log_e(|4*i|) + i*Arg(4*i), 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Planteos auxiliares.

Observa que el número complejo en estudio: z = 4*i se encuentra en el semieje imaginario positivo, por lo que tienes:

- que su módulo es: |4*i| = 4 (1), 

- que su argumento principal es: Arg(1) = π/2 (2).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

aquí reemplazas las expresiones señaladas (1) (2) en la expresión de la función evaluada, y queda:

f(4*i) = Log_e(4) + i*π/2, 

ahora ordenas factores en el segundo término, y queda:

f(4*i) = Log_e(4) + (π/2)*i.  

3c)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = Log_e(|z|) + i*Arg(z),

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = 1 + i, y queda: 

f(1 + i) = Log_e(|1 + i|) + i*Arg(1 + i), 

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Planteos auxiliares.

Observa que el número complejo en estudio: z = 1 + i se encuentra en el primer cuadrante, por lo que tienes:

- que su módulo es: |1 + i| = √(12 + 12) = √(1 + 1) = √(2) (1), 

- que la tangente de sus argumentos es: tanθ = 1, y al componer con la función inversa queda: Arg(1 + i) = π/4 (2).

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aquí reemplazas las expresiones señaladas (1) (2) en la expresión de la función evaluada, y queda:

f(1 + i) = Log_e(√(2)) + i*π/4, 

ahora ordenas factores en el segundo término, y queda:

f(1 + i) = Log_e(√(2)) + (π/4)*i.  

4a)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = |z|² - 2*Re(i*z) + z,

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = 3 - 4*i, y queda: 

f(3 - 4*i) = |3 - 4*i|² - 2*Re(i*(3 - 4*i)) + 3 - 4*i, 

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Planteos auxiliares.

Observa que el módulo del número complejo en estudio: z = 3 - 4*i, queda expresado:

|3 - 4*i| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √(25) = 5 (1), 

a continuación planteas la expresión que tienes en el argumento en el segundo término, distribuyes, y queda:

i*(3 - 4*i) = 3*i - 4*i2 = 3*i + 4 = 4 + 3*i, por lo que la parte real de este número complejo queda expresada: 

Re(i*(3 - 4*i) = 4 (2).

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aquí reemplazas las expresiones señaladas (1) (2) en la expresión de la función evaluada, y queda:

f(3 - 4*i) = 5² - 2*4 + 3 - 4*i, 

ahora resuelves, reduces términos reales, y queda:

f(3 - 4*i) = 20 - 4*i.  

4b)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = |z|² - 2*Re(i*z) + z,

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = 2 - i, y queda: 

f(2 - i) = |2 - i|² - 2*Re(i*(2 - i)) + 2 - i, 

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Planteos auxiliares.

Observa que el módulo del número complejo en estudio: z = 2 - i, queda expresado:

|2 - i| = √(2² + (-1)²) = √(4 + 1) = √(5) (1), 

a continuación planteas la expresión que tienes en el argumento en el segundo término, distribuyes, y queda:

i*(2 - i) = 2*i - i² = 2*i + 1 = 1 + 2*i, por lo que la parte real de este número complejo queda expresada: 

Re(i*(2 - i) = 1 (2).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

aquí reemplazas las expresiones señaladas (1) (2) en la expresión de la función evaluada, y queda:

f(2 - i) = (√(5))² - 2*1 + 2 - i, 

ahora resuelves en los dos primeros términos, y queda:

f(2 - i) = 5 - 2 + 2 - i,

a continuación reduces términos semejantes, y queda:

f(2 - i) = 5 - i.  

4c)

Tienes la expresión de la función:

f(z) = |z|² - 2*Re(i*z) + z,

a continuación reemplazas el número complejo en estudio: z = 1 + 2*i, y queda: 

f(1 + 2*i) = |1 + 2*i|² - 2*Re(i*(1 + 2*i)) + 1 + 2*i, 

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Planteos auxiliares.

Observa que el módulo del número complejo en estudio: z = 1 + 2*i, queda expresado:

|1 + 2*i| = √(1² + 2²) = √(1 + 4) = √(5) (1), 

a continuación planteas la expresión que tienes en el argumento en el segundo término, distribuyes, y queda:

i*(1 + 2*i) = 1*i + 2*i² = i - 2 = -2 + i, por lo que la parte real de este número complejo queda expresada: 

Re(i*(1 + 2*i) = -2 (2).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

aquí reemplazas las expresiones señaladas (1) (2) en la expresión de la función evaluada, y queda:

f(1 + 2*i) = (√(5))² - 2*(-2) + 1 + 2*i, 

ahora resuelves en los dos primeros términos, y queda:

f(1 + 2*i) = 5 + 4 + 1 + 2*i,

a continuación reduces términos semejantes, y queda:

f(1 + 2*i) = 10 + 2*i.  

Espero haberte ayudado.