¿Alguna ayuda?

1)

Tienes el número imaginario en la base de la expresión, que puedes identificar con el número complejo:

z = 0 - 1*i,

a continuación observa que este número complejo se encuentra representado en el semieje imaginario negativo, por lo que su módulo es: |z| = 1, y su argumento es: θ = 3π/2 (observa que este es su argumento principal), por lo que su expresión en forma polar queda:

z = 1_3π/2 (*);

luego, tienes la expresión en estudio:

w_k = z^1/3,

aquí sustituyes la expresión señalada (*), y queda:

w_k = (1_3π/2)^1/3,

ahora aplicas Segunda Fórmula de De Moivre (o Fórmula de las Raíces), y queda:

w_k = 1^1/3_{(3π/2 + 2π*k)/3}, con: k = 0, 1 o 2,

a continuación resuelves la expresión en el módulo (recuerda: 1^1/3 = ∛(1) = 1), y queda:

w_k = 1_{(3π/2 + 2π*k)/3}, con: k = 0, 1 o 2, 

aquí evalúas esta expresión general para cada uno de los tres valores del parámetro "k", y queda:

w₀ = 1_{(3π/2 + 2π*0)/3} = 1_π/2, 

w₁ = 1_{(3π/2 + 2π*1)/3} = 1_7π/6, 

w₂ = 1_{(3π/2 + 2π*2)/3} = 1_11π/6,  

que son las expresiones de las tres raíces cúbicas del número complejo: z = 1_3π/2 = -i.  

2)

Vamos con un desarrollo por etapas:

1°)

Tienes el número complejo en el numerador, en la base de la potencia:

N = 1 + i, 

cuya parte real es: a = 1, y cuya parte imaginaria es: b = 1, por lo que tienes:

- que su módulo es: |N| = √(1² + 1²) = √(2), 

- que la tangente de sus argumentos es: tanθ = 1/1 = 1, aquí compones con la función inversa de la tangente (observa que este número complejo se encuentra en el primer cudrante), y queda: θ = π/4, que es su argumento principal,

a continuación expresas a este número complejo en forma polar, y queda:

N = √(2)_π/4 (1).

2°)

Tienes el número complejo en el denominador, en la base de la potencia: 

D = √(3) + 1*i,

cuya parte real es: a = √(3), y cuya parte imaginaria es: b = 1, por lo que tienes: 

- que su módulo es: |D| = √((√(3))² + 1²) = √(3 + 1) = √(4) = 2,  

- que la tangente de sus argumentos es: tanθ = 1/√(3), aquí compones con la función inversa de la tangente (observa que este número complejo se encuentra en el primer cudrante), y queda: θ = π/6, que es su argumento principal, 

a continuación expresas a este número complejo en forma polar, y queda: 

D = 2_π/6 (2).

3°)

Tienes la expresión en la base de la potencia:

(1 + i)/(√(3) + i) =

a continuación reemplazas las expresiones polares señaladas (1) (2), y queda:

= √(2)_π/4 / 2_π/6 =

aquí resuelves la división (recuerda que debes dividir los módulos y restar los argumentos), y queda:

= (√(2)/2)_{π/4 - π/6} =

ahora resuelves la expresión en el módulo (recuerda: √(2)/2 = √(2)/√(4) = √(2/4) = √(1/2) = 1/√(2)), resuelves la expresión en el argumento, y queda:

= (1/√(2))_π/12 (3).

4°)

Tienes la expresión en estudio:

w = ((1 + i)/(√(3) + i))^1/6,

a conitnuación reemplazas la expresión polar señalada (3) en la base en esta potencia, y queda:

w = ((1/√(2))_π/12)^1/6, 

aquí aplicas Segunda Fórmula de De Moivre (o Fórmula de las Raíces), y queda:

w_k = (1/√(2))^1/6_{(π/12 + 2π*k)/6}, con: k = 0, 1, 2, 3, 4 o 5,

ahora resuelves la expresión en el módulo (recuerda: (1/√(2))^1/6 = (1/2^1/2)^1/6 = 1^1/6/(2^(1/2))^(1/6) = 1/2^1/12 = 1/¹²√(2)), y queda:

w_k = (1/¹²√(2))_{(π/12 + 2π*k)/6}, con: k = 0, 1, 2, 3, 4 o 5, 

a continuación evalúas esta expresión para cada uno de los valores del parámetro "k", y queda:

w₀ = (1/¹²√(2))_{(π/12 + 2π*0)/6} = (1/¹²√(2))_π/72,

w₁ = (1/¹²√(2))_{(π/12 + 2π*1)/6} = (1/¹²√(2))_25π/72, 

w₂ = (1/¹²√(2))_{(π/12 + 2π*2)/6} = (1/¹²√(2))_49π/72, 

w₃ = (1/¹²√(2))_{(π/12 + 2π*3)/6} = (1/¹²√(2))_73π/72, 

w₄ = (1/¹²√(2))_{(π/12 + 2π*4)/6} = (1/¹²√(2))_97π/72, 

w₅ = (1/¹²√(2))_{(π/12 + 2π*5)/6} = (1/¹²√(2))_121π/72.

Espero haberte ayudado.