Yaser
Calcula todas las raíces. Paso a paso, por favor. Gracias.
1)
Tienes el número real en la base de la expresión, que puedes identificar con el número complejo:
z = 8 + 0*i,
a continuación observa que este número complejo se encuentra representado en el semieje real positivo, por lo que su módulo es: |z| = 8, y su argumento es: θ = 0 (observa que este es su argumento principal), por lo que su expresión en forma polar queda:
z = 80 (*);
luego, tienes la expresión en estudio:
wk = z1/3,
aquí sustituyes la expresión señalada (*), y queda:
wk = (80)1/3,
ahora aplicas Segunda Fórmula de De Moivre (o Fórmula de las Raíces), y queda:
wk = 81/3(0 + 2π*k)/3, con: k = 0, 1 o 2,
a continuación resuelves la expresión en el módulo (recuerda: 81/3 = ∛(8) = 2), resuelves la expresión en el argumento, y queda:
wk = 22π*k/3, con: k = 0, 1 o 2,
aquí evalúas esta expresión general para cada uno de los tres valores del parámetro "k", y queda:
w0 = 22π*0/3 = 20,
w1 = 22π*1/3 = 22π/3,
w2 = 22π*2/3 = 24π/3,
que son las expresiones de las tres raíces cúbicas del número complejo: z = 80.
2)
Tienes el número real en la base de la expresión, que puedes identificar con el número complejo:
z = -9 + 0*i,
a continuación observa que este número complejo se encuentra representado en el semieje real negativo, por lo que su módulo es: |z| = 9, y su argumento es: θ = π (observa que este es su argumento principal), por lo que su expresión en forma polar queda:
z = 9π (*);
luego, tienes la expresión en estudio:
wk = z1/2,
aquí sustituyes la expresión señalada (*), y queda:
wk = (9π)1/2,
ahora aplicas Segunda Fórmula de De Moivre (o Fórmula de las Raíces), y queda:
wk = 91/2(π + 2π*k)/2, con: k = 0 o 1,
a continuación resuelves la expresión en el módulo (recuerda: 91/2 = √(9) = 3), y queda:
wk = 3(π + 2π*k)/2, con: k = 0 o 1,
aquí evalúas esta expresión general para cada uno de los tres valores del parámetro "k", y queda:
w0 = 3(π + 2π*0)/2 = 3π/2,
w1 = 3(π + 2π*1)/2 = 33π/2,
que son las expresiones de las dos raíces cuadradas del número complejo: z = 9π.
3)
Tienes el número real en la base de la expresión, que puedes identificar con el número complejo:
z = 0 + 1*i,
a continuación observa que este número complejo se encuentra representado en el semieje imaginario positivo, por lo que su módulo es: |z| = 1, y su argumento es: θ = π/2 (observa que este es su argumento principal), por lo que su expresión en forma polar queda:
z = 1π/2 (*);
luego, tienes la expresión en estudio:
wk = z1/2,
aquí sustituyes la expresión señalada (*), y queda:
wk = (1π/2)1/2,
ahora aplicas Segunda Fórmula de De Moivre (o Fórmula de las Raíces), y queda:
wk = 11/2(π/2 + 2π*k)/2, con: k = 0 o 1,
a continuación resuelves la expresión en el módulo (recuerda: 11/2 = √(1) = 1), y queda:
wk = 1(π/2 + 2π*k)/2, con: k = 0 o 1,
aquí evalúas esta expresión general para cada uno de los tres valores del parámetro "k", y queda:
w0 = 1(π/2 + 2π*0)/2 = 1π/4,
w1 = 1(π/2 + 2π*1)/2 = 15π/4,
que son las expresiones de las dos raíces cuadradas del número complejo: z = 1π/2 = i.
4)
Tienes el número complejo en la base de la expresión:
z = -1 + 1*i,
a continuación observa que este número complejo se encuentra representado en el segundo cuadrante, por lo que planteas la expresión de su módulo, y queda: |z| = √((-1)2 + 12) = √(2), y observa que la tengente de su argumento queda expresada: tanθ = 1/(-1) = -1, y que al componer con la función inversa de la tangente queda: θ = 3π/4 (observa que este es su argumento principal), por lo que su expresión en forma polar queda:
z = √(2)3π/4 (*);
luego, tienes la expresión en estudio:
wk = z1/3,
aquí sustituyes la expresión señalada (*), y queda:
wk = (√(2)3π/4)1/3,
ahora aplicas Segunda Fórmula de De Moivre (o Fórmula de las Raíces), y queda:
wk = (√(2)1/3)(3π/4 + 2π*k)/3, con: k = 0, 1 o 2,
a continuación resuelves la expresión en el módulo (recuerda: (√(2))1/3 = ∛(√(2)) = ⁶√(2)), y queda:
wk = ⁶√(2)2π*k/3, con: k = 0, 1 o 2,
aquí evalúas esta expresión general para cada uno de los tres valores del parámetro "k", y queda:
w0 = ⁶√(2)(3π/4 + 2π*0)/3 = ⁶√(2)π/4,
w1 = ⁶√(2)(3π/4 + 2π*1)/3 = ⁶√(2)11π/12,
w2 = ⁶√(2)(3π/4 + 2π*2)/3 = ⁶√(2)19π/12,
que son las expresiones de las tres raíces cúbicas del número complejo: z = √(2)3π/4 = -1 + i.
Espero haberte ayudado.