ROTACION: VARILLA QUE GIRA EN TORNO A EJE PERPENDICULAR

a)

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en un extremo de la varilla, y con eje OX paralelo a la misma con sentido postivo hacia el extremo opuesto, a continuación considera un diferencial de masa de la varilla, ubicado en la posición "x", planteas la expresión del mismo (designamos con "A" al área de la sección transversal de la varilla, y con "δ" a la densidad de masa del material que la conforma), y queda:

dM = δ*dV = δ*A*dx,

a continuación planteas la expresión del momento de inercia de la varilla con respecto a un eje de giros perpendicular a la misma, y que pasa por el origen de coordenadas, y queda: 

dI = x²*dM,

aquí sustituyes la expresión de la masa del elemento infinitesimal de la varilla, ordenas factores, y queda:

dI = δ*A*x²*dx, 

a continuación integras en ambos miembros, y queda: (observa que designamos con "L" a la longitud de la varilla), y queda:

I = ₀∫^L δ*A*x²*dx = δ*A * ₀∫^L x²*dx,    

a continuación resuelves la integral (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

I = δ*A * [ x³/3 ],

ahora evalúas, resuelves el coeficiente, y queda:

I = (1/3)*δ*A * L³,

y de aquí tienes:

I = (1/3)*δ*A*L*L²,

aquí sustituyes la expresión del volumen de la varilla, y queda:

I = (1/3)*δ*V*L²,

a continuación sustituyes la expresión de la masa de la varilla, y queda:

I = (1/3)*M*L². 

b)

Observa que sobre la varilla están aplicadas dos fuerzas verticales:

Peso: P = M*g, hacia abajo, aplicada en el centro de masas de la varilla,

Acción del eje de giros: F, hacia arriba, aplicada sobre el extermo ligado al eje de giros de la varilla;

luego, aplilcas la Segunda Ley de Newton para traslaciones, y queda (observa que consideramos un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia abajo, y que sustituimos la expresión del módulo del peso de la varilla):

M*g - F = M*a_cm (1);

luego, aplicas la Segunda Ley de Newton para giros, y queda (observa que consideramos un eje de giros acorde al giro de la varilla, con sentido positivo acorde a su giro, presta atención a la expresión del brazo de momento del peso de la varilla, y observa que la acción del eje de giros no produce momento de fuerza):

+(L/2)*senθ*M*g = I*α,

aquí sustituyes la expresión del momento de inercia de la varilla con respecto al eje de giros de la misma que ya tienes planteado, y queda:

+(L/2)*senθ*M*g = (1/3)*M*L²*α,

ahora multiplicas por 3 y divides por M y por L² en ambos miembros, y a continuación despejas:

α = (3/2)*(g/L)*senθ,

que es la expresión del módulo de la aceleración angular de la varilla,

a continuación planteas la expesión del módulo de la aceleración del centro de masas de la varilla, y queda:

a_cm = (L/2)*α,

aquí sustituyes la expresión del módulo de la aceleración angular de la varilla que tienes remarcada, simplificas, y queda:

a_cm = (3/4)*g*senθ.

c)

Sustituyes la útima expresión remarcada en la ecuación señalada (1), resuelves la expresión en su segundo miembro, y queda:

M*g - F = (3/4)*M*g*senθ,

ahora multiplicas por 4 en todos los términos, y queda:

4*M*g - 4*F = 3*M*g*senθ

y de aquí despejas:

F = (1/4)*(4 - 3*senθ)*M*g.

Espero haberte ayudado.