BRUNO ROLDÁN
Necesito despejar el último ejercicio como lo hago por favor me ayudan
Tienes la ecuación cartesiana canónica de una elipse cuyo centro de simetría es el punto O(0;0):
x² + 2*y² = 18,
y que permite definir a la incógnita "y" como una función de la incógnita "x": y = f(x) en forma implícita, en un entorno del punto en estudio: P₀(4;1) (y puedes verificar que las coordenadas de este punto verifican la ecuación);
luego, derivas implícitamente con respecto a la variable "x", y queda:
2x + 4y*y' = 0,
aquí divides por 2 en todos los términos, y a continuación despejas:
y' = -x/(2*y),
aquí reemplazas las coordenads del punto en estudio: P₀(4;1), resuelves, y queda:
y' = -4/(2*1) = -2,
que es la expresión de la derivada de la función en dicho punto;
luego, observa que este valor también es el valor de la pendiente de la recta tangente a la elipse en el punto P₀(4;1): mT = -2, por lo que planteas la ecuación general "punto-pendiente" para esta recta, y queda:
y = mT*(x - x₀) + y₀,
aquí reemplazas las coordenadas del punto en estudio, reemplazas el valor de la pendiente de la recta tangente, y queda:
y = -2*(x - 4) + 1,
ahora distribuyes en el primer término y reduces términos semejantes en el segundo miembro, y queda:
y = -2*x + 9,
que es la ecuación cartesiana explícita de la recta tangente en estudio;
luego, planteas la expresión de la pendiente de una recta perpendicular a la recta tangente, y queda: mN = -1/mT = -1/(-2) = 1/2, y junto con las coordenadas del punto en estudio, planteas la ecuación general "punto-pendiente" para la recta normal a la elipse en dicho punto, y queda:
y = mN*(x - x₀) + y₀,
aquí reemplazas las coordenadas del punto en estudio, reemplazas el valor de la pendiente de la recta normal, y queda:
y = (1/2)*(x - 4) + 1,
ahora distribuyes en el primer término y reduces términos semejantes en el segundo miembro, y queda:
y = (1/2)*x - 1,
que es la ecuación cartesiana explícita de la recta normal en estudio.
Tienes las representaciones gráficas de la elipse y de las dos rectas en la figura.
Espero haberte ayudado.