Duda centro de masss

a)

Planteas la expresión vectorial de la posción del centro de masas del sistema conformado por las cuatro partículas en el instante correspondiente al choque, y queda:

r_cm = ([M_A + M₁]*r₁ + M₂*r₂ + M₃*r₃)/(M_A + M₁ + M₂ + M₃),

ahora reemplazas expresiones resueltas en todos los términos, en el numerador y la expresión resuelta en el denominador, y queda:

r_cm = (0,2*< 0 ; 0 ; 0 > + < 0,2 ; 0,1 ; 0 > + < 0,1 : -0,4 ; 0 >)/0,4 = < 0,3 ; -0,3 ; 0 >/0,4 = < 0,75 ; -0,75 ; 0 > m,

a continuación planteas las expresiones de las posiciones de las partículas con respecto al centro de masas en el instante correspondiente al choque, reemplazas expresiones, resuelves, y queda:

R_A = r₁ - r_cm = < 0 ; 0 ; 0 > - < 0,75 ; -0,75 ; 0 > = < -0,75 ; 0,75 ; 0 > m,

R₁ = r₁ - r_cm = < -0,75 ; 0,75 ; 0 > m, 

R₂ = r₂ - r_cm = < 2 ; 1 ; 0 > - < 0,75 ; -0,75 ; 0 > = < 1,25 ; 1,75 ; 0 > m, 

R₃ = r₃ - r_cm = < 1 ; -4 ; 0 > - < 0,75 ; -0,75 ; 0 > = < 0,25 ; -3,25 ; 0 > m.

b)

Planteas la expresión vectorial de la velocidad del centro de masas del sistema de cuatro partículas inmediatamente antes del choque (observa que sólamente la partícula A se desplaza), reemplazas expresiones, resuelves, y queda (indicamos con "o" al vector nulo):

v_a = (M_A*v_A + [M₁ + M₂ + M₃]*o)/(M_A + M₁ + M₂ + M₃) = (0,1*< 0,7 ; 0 ; 0 > + 0,3*< 0 ; 0 ; 0 >)/0,4 = < 1,75 ; 0 ; 0 > m/s,

a continuación puedes decignar con "v_d" a la velocidad del centro de masas del sistem inmediatamente después del choque y, si consideras que el choque es perfectamente elástico y que no están aplicads fuerzas externas sobre el sistema, entonces tienes que la velocidad del centro de masas permanece constante, por lo que la expresión de la velocidad del mismo después del choque queda:

v_d = < 1,75 ; 0 ; 0 > m/s.

c)

Planteas la expresión del momento angular del sistema inmediatamente antes del choque (observa que sólamente se desplaza la partícula A), con respecto a un eje de giros perpendicular al plano de las partículas y que pasa por el centro de masas del sistema), y queda:

L_a = R_A x M_A*v_A = < -0,75 ; 0,75 ; 0 > x 0,1*< 0,7 ; 0 ; 0 > = 0,75*0,1*0,7*(< -1 ; 1 ; 0 > x < 1 ; 0 ; 0 >),

ahora resuelves la expresión del coeficiente, resuelves el producto vectorial, y queda:

L_a = 0,0525*< 0 ; 0 ; -1 > = < 0 ; 0 ; -0,0525 > Kg*m²/s,

a continuación planteas la expresión del momento de inercia del sistema con respecto al eje de giros establecido, y para la situación inmediata posterior al choque, queda:

I_d = (M_A + M₁)*|R₁|² + M₂*|R₂|² + M₃*|R₃|²,

aquí reemplazas los valores de las masas de las partículas y resuelves coeficientes, reemplazas las expresiones vectoriales de las posiiciones de las partículas con respecto al centro de masas del sistema que ya tienes determinadas, y queda.

I_d = 0,2*|< -0,75 ; 0,75 ; 0 >|² + 0,1*|< 1,25 ; 1,75 ; 0 >|² + 0,1*|< 0,25 ; -3,25 ; 0 >|², 

ahora resuelves expresiones en los términos, resuelves, y queda:

I_d = 0,225 + 0,4625 + 1,0625 = 1,75 Kg*m²;

luego, si consideras que no están aplicados momentos de fuerzas exteriores sobre el sistema, planteas conservación del momento angular, sustittuyes la expresión correspondiente al instante inmediato posterior al choque, y queda la ecuación:

L_a = I_d*ω_d,

y de aquí despejas:

ω_d = L_a/I_d = < 0 ; 0 ; -0,0525 >/1,75 = < 0 ; 0 ; -0,03 > rad/s.

Espero haberte ayudado.

Buenas tardes Antonio, repasando para el examen me he encontrado este ejercicio y me surgido una duda de la explicación del apartado c). Supongo que tanto antes como después del choque las partículas en movimiento se desplazan y giran por lo que el momento angular no sera L= r xmv + Iw? Gracias