Dinamica de una particula

Vamos con una orientación.

Tienes los datos: 

M = 600 gr = 0,6 Kg (masa de la cadena),

L = (0,5 - b) m + b m = 0,5 m (longitud de la cadena),

μ = 0,1 (coeficiente dinámico de rozamiento),

a continuación planteas la expresión de la densidad longitudinal de masa de la cadena, y queda:

δ = M/L = (0,6 Kg)/(0,5 m) = 1,2 Kg/m.

Luego, considera un instante cualquiera, en el que la longitud del tramo derecho de cadena es "L_d = x" y, por lo tanto, la longitud del tramo izquierdo es "L_i = 0,5 - x", con ambas longitudes expresadas en metros, y observa que consideramos que el módulo de la aceleración gravitatoria terrestre es: g = 10 m/s².

Luego, vamos con un desarrollo por etapas.

1°)

Para el tramo derecho de cadena, cuya masa tiene la expresión: M_d = δ*L_d = 1,2*x Kg, establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en el punto cumbre A, con eje OX paralelo a la rampa de la derecha con sentido positivo hacia la derecha según tu figura, y con eje OY perpendicular a dicha rampa con sentido positivo hacia arriba, a continuación observa que sobre este tramo de cadena están aplicadas cuatro fuerzas:

Peso: P_d = M_d*g = 1,2*x*10 = 12*x N, vertical, hacia abajo,

Acción normal de la rampa: N_d, perpendicular a la rampa, hacia arriba,

Rozamiento dinámico de la rampa: fr_d = μ*N_d = 0,1*N_d paralelo a la rampa, hacia la izquierda,

Resistencia del tramo izquierdo de cadena: R, paralela a la rampa, hacia la izquierda;

luego, aplicas Segunda Ley de Newton, y quedan las ecuaciones (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas, y presta atención al ángulo que determina la rampa con la horizontal: α = 30°):

P_d*senα - fr_d - R = M_d*a,

N_d - P_d*cosα = 0,

ahora sustituyes expresiones en ambas ecuaciones, y queda:

12*x*sen(30°) - 0,1*N_d - R = 1,2*x*a,

N_d - 12*x*cos(30°) = 0, y de aquí despejas: N_d = 12*x*cos(30°) (expresada en Newton),

a continuación sustituyes esta última expresión remarcada en la primera ecuación, resuelves el coeficiente en su segundo término, y queda:

12*x*sen(30°) - 1,2*x*cos(30°) - R = 1,2*x*a, y de aquí despejas: R = 12*x*sen(30°) - 1,2*x*cos(30°) - 1,2*x*a (1).

2°)

Para el tramo izquierdo de cadena, cuya masa tiene la expresión: M_i = δ*L_i = 1,2*(0,5 - x) = 0,6 - 1,2*x Kg, establece un sistema de referencia con eje OX paralelo a la rampa de la izquierda con sentido positivo hacia la derecha según tu figura, y con eje OY perpendicular a dicha rampa con sentido positivo hacia arriba, a continuación observa que sobre este tramo de cadena están aplicadas cuatro fuerzas:

Peso: P_i = M_i*g = (0,6 - 1,2*x)*10 = 6 - 12*x N, vertical, hacia abajo,

Acción normal de la rampa: N_i, perpendicular a la rampa, hacia arriba,

Rozamiento dinámico de la rampa: fr_i = μ*N_i = 0,1*N_i paralelo a la rampa, hacia la izquierda,

Reacción a la Resistencia del tramo izquierdo de cadena: R, paralela a la rampa, hacia la derecha;

luego, aplicas Segunda Ley de Newton, y quedan las ecuaciones (observa que sustituimos las expresiones de los módulos de las fuerzas, y presta atención al ángulo que determina la rampa con la horizontal: β = 40°): 

R - P_i*senβ - fr_i = M_i*a,

N_i - P_i*cosβ = 0,

ahora sustituyes expresiones en ambas ecuaciones, y queda:

R - (6 - 12*x)*sen(40°) - 0,1*N_i = (0,6 - 1,2*x)*a,

N_i - (6 - 12*x)*cos(40°) = 0, y de aquí despejas: N_i = (6 - 12*x)*cos(40°) (expresada en Newton),

a continuación sustituyes esta última expresión remarcada en la primera ecuación, y queda:

R - (6 - 12*x)*sen(40°) - 0,1*(6 - 12*x)*cos(40°) = (0,6 - 1,2*x)*a (2). 

3°)

Sustituyes la expresión señalada (1) en el primer término en la ecuación señalada (2), y queda:

12*x*sen(30°) - 1,2*x*cos(30°) - 1,2*x*a - (6 - 12*x)*sen(40°) - 0,1*(6 - 12*x)*cos(40°) = (0,6 - 1,2*x)*a,

aquí sumas 1,2*x*a en ambos miembros, cancelas términos opuestos en el primer miembro, resuelves la expresión en el segundo miembor, y queda:

12*x*sen(30°) - 1,2*x*cos(30°) - (6 - 12*x)*sen(40°) - 0,1*(6 - 12*x)*cos(40°) = 0,6*a, 

ahora distribuyes en el segundo y en el tercer término, y queda:

12*x*sen(30°) - 1,2*x*cos(30°) - 6*sen(40°) + 12*sen(40°)*x - 0,6 + 12*x*cos(40°) = 0,6*a,  

aquí divides por 0,6 en todos los términos, y queda:

20*x*sen(30°) - 2*x*cos(30°) - 10*sen(40°) + 20*sen(40°)*x - 1 + 20*x*cos(40°) = a,  

a continuación ordenas términos, extraes factor común "x" con los términos literales, asocias términos numéricos, todo en primer miembro, y después despejas:

a = x*( 20*sen(30°) - 2*cos(30°) + 20*sen(40°) + 20*cos(40°) ) - ( 10*sen(40°) + 1 ),

aquí sustituyes la expresión de la aceleración, en función de la rapidez y de la posición en el primer miembro, y queda la ecuación diferencial:

v*dv/dx = x*( 20*sen(30°) - 2*cos(30°) + 20*sen(40°) + 20*cos(40°) ) - ( 10*sen(40°) + 1 ), 

ahora ordenas factores en el primer término en el segundo miembro, separas variables, y queda:

v*dv = [( 20*sen(30°) - 2*cos(30°) + 20*sen(40°) + 20*cos(40°) )*x - ( 10*sen(40°) + 1 )]*dx.

4°)

Integras en ambos miembros en esta ecuación diferencial, y queda la ecuación general implícita:

(1/2)*v² = ( 20*sen(30°) - 2*cos(30°) + 20*sen(40°) + 20*cos(40°) )*(1/2)*x² - ( 10*sen(40°) + 1 )]*x + C (3),

a continuación, a fin de determinar el valor de la constante de integración "C", planteas la condición inicial que tienes representada en tu figura, sustituyes las expresiones correspondientes: x = b, v = v_i (rapidez inicial), y queda:

(1/2)*v_i² = ( 20*sen(30°) - 2*cos(30°) + 20*sen(40°) + 20*cos(40°) )*(1/2)*b² - ( 10*sen(40°) + 1 )*b + C (4).

5°)

Planteas la situación en estudio (la cadena se encuentra completamente sobre la rampa derecha, con su extremo izquierdo en el punto cumbre): x = 0,5 m, v = a determinar, sustituyes esta expresión en la ecuación señalada (3), y queda:

(1/2)*v² = ( 20*sen(30°) - 2*cos(30°) + 20*sen(40°) + 20*cos(40°) )*(1/2)*0,5² - ( 10*sen(40°) + 1 )*0,5 + C,

ahora resuelves la multiplicación de los dos últimos factores en el primer término en el seugndo miembro, y queda:

(1/2)*v² = ( 20*sen(30°) - 2*cos(30°) + 20*sen(40°) + 20*cos(40°) )*0,125 - ( 10*sen(40°) + 1 )*0,5 + C, 

a continuación, a esta última ecuación le restas término a término la ecuación señalada (4), extraes factores comunes término a término y cancelas términos opuestos en el segundo miembro, y queda:

(1/2)*v² - (1/2)*v_i² = ( 20*sen(30°) - 2*cos(30°) + 20*sen(40°) + 20*cos(40°) )*[0,125 - (1/2)*b²] - ( 10*sen(40°) + 1 )*0,5*[0,5 - b] (5),

y queda para ti despejar la incógnita "v", que corresponde a la rapidez de la cadena para la situación que te piden en tu enunciado.

Por supuesto, si tus docentes te lo permiten, puedes reemplazar los valores aproximados de las razones trigonométricas desde el principio, y se facilitará mucho la tarea.

Espero haberte ayudado.