Yaser
Paso a paso, por favor. Gracias.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel de planta baja y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba. Luego, vamos con cada viaje por separado, y ten en cuenta las ecuaciones velocidad-desplazamiento y tiempo-velocidad de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado:
v² - vᵢ² = 2*a*(y - yᵢ) (*),
v = vᵢ + a*(t - tᵢ) (**).
Para el viaje de subida, observa que el ascensor se desplaza en dos etapas, y recuerda que los datos finales en la primera etapa son los datos iniciales en la segunda):
1°)
Etapa de aceleración (observa que la rapidez del ascensor aumenta en esta etapa), con los datos iniciales (observa que expresamos a la aceleración en función de su módulo):
tᵢ = 0 (instante inicial), yᵢ = 0 (posición inicial), vᵢ = 0 (velocidad inicial), a = |a| (aceleración, a determinar),
a continuación sustituyes estas cuatro expresiones en las ecuaciones señaladas (*) (**), y queda:
v² - 0² = 2*|a|*(y - 0),
v = 0 + |a|*(t - 0),
aquí cancelas términos nulos en ambas ecuaciones, y queda:
v² = 2*|a|*y,
v = |a|*t,
ahora reemplazas datos finales para esta etapa en ambas ecuaciones:
y = 509/2 = 254,5 m (posición final),
v = 1008 m/min = (1008 m)/(60 s) = 16,8 m/s (velocidad final),
y queda:
16,8² = 2*|a|*254,5, y de aquí despejas: |a| = 16,8²/(2*254,5) = 282,24/509 ≅ 0,554 m/s²,
16,8 = |a|*t,
a continuación reemplazas este último valor remarcado en la segunda ecuación, y queda:
16,8 ≅ 0,554*t
y de aquí despejas:
t = 16,8/0,554 ≅ 30,325 s, que es el instante final para esta etapa.
2°)
Etapa de desaceleración (observa que la rapidez del ascensor disminuye en esta etapa), con los datos iniciales (observa que expresamos a la aceleración en función de su módulo):
tᵢ ≅ 30,325 s (instante inicial), yᵢ = 254,5 m (posición inicial), vᵢ = 16,8 m/s (velocidad inicial),
a = -|a| = -0,554 m/s² (aceleración),
a continuación reemplazas el valor del instante inicial, y el valor de la velocidad inicial en la ecuación señalada (**), y queda:
v ≅ 16,8 + (-0,554)*(t - 30,325),
aquí resuelves el coeficiente y distribuyes en el último término, y queda:
v ≅ 16,8 - 0,554*t + 16,800,
ahora reemplazas el valor de la velocidad final para esta etapa: v = 0, reduces términos semejantes, queda:
0 ≅ 33,600 - 0,554*t,
y de aquí despejas:
t ≅ 33,600/0,554 ≅ 60,650 s,
que es el instante final para esta etapa.
A modo de conclusión, tienes para el viaje de subida:
- que las aceleraciones en la etapa de aceleración y de desaceleración son: a ≅ 0,554 m/s² y a ≅ -0,554 m/s², respectivamente,
- que el intervalo de tiempo empleado en este viaje es: ∆tsubida = t - tᵢ ≅ 60,650 - 0 ≅ 60,650 s.
Para el viaje de bajada, observa que el ascensor se desplaza en dos etapas, y recuerda que los datos finales en la primera etapa son los datos iniciales en la segunda):
1°)
Etapa de aceleración (observa que la rapidez del ascensor aumenta en esta etapa), con los datos iniciales (observa que expresamos a la aceleración en función de su módulo):
tᵢ = 0 (instante inicial), yᵢ = 509 , (posición inicial), vᵢ = 0 (velocidad inicial), a = -0,554 m/s² (aceleración),
a continuación sustituyes el valor del instante inicial, de la velocidad inicial y de la aceleración, todos en la ecuación señalada (**), y queda:
v ≅ 0 + (-0,554)*(t - 0),
aquí cancelas términos nulos y resuelves coeficientes en los últimos términos en ambas ecuaciones, y queda:
v ≅ -0,554*t,
ahora observa que tienes los datos finales para esta etapa (presta atención al sentido de la velocidad del ascensor):
y = 509/2 = 254,5 m (posición final),
v = -610 m/min = -(610 m)/(60 s) ≅ -10,167 m/s (velocidad final),
a continuación reemplazas este último valor en la ecuación, y queda:
-10,167 ≅ -0,554*t,
y de aquí despejas:
t = 10,167/0,554 ≅ 18,352 s, que es el instante final para esta etapa.
2°)
Etapa de desaceleración (observa que la rapidez del ascensor disminuye en esta etapa), con los datos iniciales (observa que expresamos a la aceleración en función de su módulo):
tᵢ ≅ 18,352 s (instante inicial), yᵢ = 254,5 m (posición inicial), vᵢ = -10,167 m/s (velocidad inicial),
a = 0,554 m/s² (aceleración),
a continuación reemplazas el valor del instante inicial, y el valor de la velocidad inicial en la ecuación señalada (**), y queda:
v ≅ -10,167 + 0,554*(t - 18,352),
aquí resuelves el coeficiente y distribuyes en el último término, y queda:
v ≅ -10,167 + 0,554*t - 10,167,
ahora reemplazas el valor de la velocidad final para esta etapa: v = 0, reduces términos semejantes, queda:
0 ≅ -20,334 + 0,554*t,
y de aquí despejas:
t ≅ 20,334/0,554 ≅ 36,704 s,
que es el instante final para esta etapa.
A modo de conclusión, tienes para el viaje de bajada:
- que las aceleraciones en la etapa de aceleración y de desaceleración son: a ≅ -0,554 m/s² y a ≅ 0,554 m/s², respectivamente,
- que el intervalo de tiempo empleado en este viaje es: ∆tbajada = t - tᵢ ≅ 36,704 - 0 ≅ 36,705 s.
Y a modo de conclusión general, observa:
- que en las estapas de aceleración, en las que la rapidez del ascensor aumenta, tienes que su velocidad y su aceleración tienen el mismo sentido:
- - velocidad y aceleración con sentido hacia arriba en la primera etapa en el viaje de subida,
- - velocidad y aceleración con sentido hacia abajo en la primera etapa en el viaje de bajada,
- que en las estapas de desaceleración, en las que la rapidez del ascensor disminuye, tienes que su velocidad y su aceleración tienen sentidos opuestos:
- - velocidad con sentido hacia arriba y aceleración con sentido hacia abajo, en la segunda etapa en el viaje de subida,
- - velocidad con sentido hacia abajo y aceleración con sentido hacia arriba, en la segunda etapa en el viaje de bajada.
a)
Aceleraciones:
- en el viaje de subida (observa que las velocidades son positivas, porque el ascensor se desplaza hacia arriba):
a ≅ +0,554 m/s², en la primera etapa, y a ≅ -0,554 m/s², en la segunda etapa,
- en el viaje de bajada (observa que las velocidades son negativas, porque el ascensor se desplaza hacia abajo):
a ≅ -0,554 m/s², en la primera etapa, y a ≅ +0,554 m/s², en la segunda etapa.
b)
Planteas la diferencia entre los intervalos de tiempo empleados en los dos viajes, y queda:
Δt ≅ 60,650 - 36,705 ≅ 23,945 s.
Espero haberte ayudado.