Yaser
Una pelota de béisbol golpeada justo por encima del suelo sale del bate a 27 m/s a 45º sobre la horizontal. a) ¿A qué distancia golpea la pelota el suelo? b) ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? c) ¿Cuál es su altura máxima? Paso a paso, por favor. Gracias.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en la ubicación de la pelota justo antes de ser golpeada, con instante inicial: tᵢ = 0 correspondiente a dicha situación, con eje OX horizontal con dirección y sentido positivo acordes al desplazamiento de la pelota, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba; luego, observa que tienes los datos iniciales:
xᵢ = 0, yᵢ = 0 (componentes de la posición inicial),
vᵢ = 27 m/s, θ = 45° (rapidez inicial y ángulo de lanzamiento),
a = -g = -9,8 m/s² (aceleración, con dirección vertical y sentido hacia abajo),
a continuación planteas las expresiones de las componentes de la velocidad inicial de la pelota, y quedan:
vix = vᵢ*cosθ ≅ 27*cos(45°) ≅ 19,089 m/s,
viy = vᵢ*senθ ≅ 27*sen(45°) ≅ 19,089 m/s,
ahora planteas las ecuaciones tiempo-posición y tiempo-velocidad de Tiro Oblicuo (o Movimiento Parabólico), y queda:
x = xᵢ + vix*t,
y = yᵢ + viy*t + (1/2)*a*t²,
vx = vix,
vy = viy + a*t,
aquí reemplazas valores, y queda:
x ≅ 0 + 19,089*t,
y ≅ 0 + 19,089*t + (1/2)*(-9,8)*t²,
vx ≅ 19,089,
vy ≅ 19,089 + (-9,8)*t,
a continuación resuelves coeficientes, cancelas términos nulos, y queda:
x ≅ 19,089*t (1),
y ≅ 19,089*t - 4,9*t² (2),
vx ≅ 19,089 (3),
vy ≅ 19,089 - 9,8*t (4).
b)
Planteas la condición de llegada de la pelota a nivel del suelo, y queda la ecuación:
y = 0,
a continuación sustituyes la expresión señalada (2) en el primer miembro, y queda:
19,089*t - 4,9*t² ≅ 0,
aquí extraes factor común en el primer miembro, y queda:
t*(19,089 - 4,9*t) ≅ 0,
y por anulación de una multiplicación, tienes dos opciones:
1°)
t = 0,
que es el instante inicial, cuando la pelota es golpeada,
2°)
19,089 - 4,9*t ≅ 0,
y de aquí despejas:
t ≅ 19,089/4,9 t ≅ 3,896 s (5),
que es el instante en el cual la pelota vuelve a estar a nivel del suelo.
a)
Reemplazas el valor señalad (5) en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda:
xA ≅ 19,089*3,896 ≅ 74,371 m,
que es la componente horizontal de la posición de la pelota cuando vuelve a estar a nivel del piso, o "alcance" del lanzamiento.
c)
Planteas la condición de altura máxima (recuerda que la pelota "no asciende ni desciende" en el instante correspondiente), y queda la ecuación:
vy = 0,
a continuación sustituyes la expresión señalada (4) en el primer miembro, y queda:
19,089 - 9,8*t ≅ 0,
y de aquí despejas:
t ≅ 19,089/9,8 ≅ 1,948 s,
que es el instante en el que la pelota alcanza su altura máxima,
a continuación reemplazas este último valor remarcado en la ecuación señalada (2), resuelves, y queda:
yM ≅ 19,089*1,948 - 4,9*1,948² ≅ 37,185 - 18,594 ≅ 18,591 m,
que es la componente vertical de la posición de la pelota cuando alcanza el punto cumbre de su trayectoria, o "altura máxima".
Espero habere ayudado.