¿Alguna ayuda?

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en el punto de lanzamiento del proyectil, con instante inicial: tᵢ = 0 correspondiente a dicha situación, con eje OX horizontal con dirección y sentido positivo acordes a su desplazamiento, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba; luego, planteas las ecuaciones generales (sin reemplazar datos) de Tiro Oblicuo (o Movimiento Parabólico), y quedan:

x = xᵢ + v_ix*t,

y = yᵢ + v_iy*t + (1/2)*a*t²,

v_x = v_ix,

v_y = v_yi + a*t, 

a continuación reemplazas los valores de las componentes de la posición inicial del proyectil (observa que en nuestro sistema de referencia tenemos que el punto de lanzamiento se encuentra en el origen de coordenadas), susituyes las expresiones de las componentes de la velocidad inicial del proyectil (recuerda que tienes planteadas sus expresiones generales en el desarrollo inicial, que son: v_ix = vᵢ*cosθ, v_y = vᵢ*senθ), sustituyes la expresión de la aceleración: a = -g, y queda:

x = 0 + vᵢ*cosθ*t,

y = 0 + vᵢ*senθ*t + (1/2)*(-g)*t²,

v_x = vᵢ*cosθ,

v_y = vᵢ*senθ + (-g)*t, 

aquí resuelves coeficientes, cancelas términos nulos, y queda:

x = vᵢ*cosθ*t (1A),

y = vᵢ*senθ*t - (1/2)*g*t² (1B),

v_x = vᵢ*cosθ (2A),

v_y = vᵢ*senθ - g*t (2B), 

que son las cuatro ecuaciones generales en función del tiempo, que te pueden permitir plantear y resolver cualquier problema de Tiro Oblicuo (o Movimiento Parabólico).

Luego, vamos con un desarrollo por etapas.

a)

Planteas la condición de altura máxima (recuerda que el proyectil "no asciende ni desciende" en el instante correspondiente), y queda la ecuación:

v_y = 0,

a continuación sutituyes la expresión señalada (2B) en el primer miembro, y queda:

vᵢ*senθ - g*t = 0,

y de aquí despejas:

t_M = vᵢ*senθ/g,

que es la expresión del instante en el cual el proyectil alcanza su altura máxima, en función de su rapidez inicial, del ángulo de disparo, y del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre, ahora sustituyes esta expresión en la ecuación señalada (1B), y queda:

y = vᵢ*senθ*vᵢ*senθ/g - (1/2)*g*(vᵢ*senθ/g)²,

a continuación resuelves la expresión en el segundo miembro, distribuyes la potencia en el último término, y queda:

y = vᵢ²*sen²θ/g - (1/2)*g*vᵢ²*sen²θ/g²,

aquí simpllificas en el último término, y queda:

 y = vᵢ²*sen²θ/g - (1/2)*vᵢ²*sen²θ/g,

ahora reduces términos en el segundo miembro (observa que ambos términos son semejantes), y queda:

y_M = (1/2)*vᵢ²*sen²θ/g (1),

que es la expresión de la altura máxima que alcanza el proyectil, en función de su rapidez inicial, del ángulo de lanzamiento, y del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre.

b)

Planteas la condición de llegada del proyectil a nivel del suelo, y queda la ecuación:

y = 0,

a continuación sustituyes la expresión señalada (1B) en el primer miembro, y queda:

vᵢ*senθ*t - (1/2)*g*t² = 0,

aquí extraes factor común en el primer miembro, y queda:

t*(vᵢ*senθ - (1/2)*g*t) = 0,

y por anulación de una multiplicación tienes dos opciones:

1°)

t = 0,

que es el instante incidal, en el cual el proyectil es lanzado,

2°)

vᵢ*senθ - (1/2)*g*t = 0,

y de aquí despejas:

t_A = 2*vᵢ*senθ/g,

que es el instante en el que el proyectil vuelve a estar a nivel del suelo, en función de su rapidez inicial, del ángulo de lanzamiento, y del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre, a continuación sustituyes esta última expresión en la ecuación señalada (1A), y queda:

x_A = vᵢ*cosθ*2*vᵢ*senθ/g = vᵢ²*2*senθ*cosθ/g (2),

que es la expresión del "alcance" del lanzamiento, en función de su rapidez inicial, del ángulo de lanzamiento, y del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre.

3°)

Tienes la situación en estudio: "la altura máxima que alcanza el proyectil es igual a la mitad del alcance del disparo", por lo que puedes plantear la ecuación:

y_M = (1/2)*x_A,

a continuación sustituyes las expresiones señaladas (1) (2), y queda:

(1/2)*vᵢ²*sen²θ/g = (1/2)*vᵢ²*2*senθ*cosθ/g,

aquí simplificas factores numéricos en el segundo miembro, y queda:

(1/2)*vᵢ²*sen²θ/g = vᵢ²*senθ*cosθ/g, 

ahora multiplicas por 2, multimplicas por "g", y divides por vᵢ² en ambos miembros, y queda la ecuación trigonométrica:

sen²θ = 2*senθ*cosθ,

a continuación restas 2*senθ*cosθ en ambos miembros, y queda:

sen²θ - 2*senθ*cosθ = 0,

ahora extraes factor común en el primer miembro, y queda:

senθ*(senθ - 2*cosθ) = 0, 

y por anulación de una multiplicación tienes dos opciones:

I)

senθ = 0,

a continuación compones en ambos miembros con la función inversa del seno, y queda:

θ = 0°,

que no tiene sentido para este problema (observa que esta medida corresponde a un ángulo nulo, por lo que tienes que la velocidad inicial del proyectil es horizontal),

II)

senθ - 2*cosθ = 0,

a continuación sumas 2*cosθ en ambos miembros, y queda:

senθ = 2*cosθ,

aquí divides por cosθ en ambos miembros (observa que consideramos que esta expresión no toma el valor cero), y queda:

senθ/cosθ = 2,

ahora aplicas la identidad trigonométrica elemental para la tangente en el primer miembro, y queda:

tanθ = 2, 

a continuación compones con la función inversa de la tangente en ambos miembros, y queda:

θ ≅ 63,435°,

que es la medida del ángulo de lanzamiento, para que la altura que alcanza el proyectil sea igual a la mitad de su alcance.

Espero haberte ayudado.