Yaser
Paso a paso, por favor. Gracias.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel de la superficie del río, justo por debajo del punto en el que la piedra es lanzada, con instante inicial: tᵢ = 0 correspondiente a dicha situación, con eje OX horizontal con dirección y sentido positivo acordes al desplazamiento de la piedra, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, a continuación planteas las ecuaciones tiempo-posición y tiempo-velocidad de Tiro Oblicuo (o Movimiento Parabólico), y quedan:
x = xᵢ + vix*t,
y = yᵢ + viy*t + (1/2)*a*t²,
vx = vix,
vy = viy + a*t,
aquí reemplazas datos iniciales (aquí ten en cuenta el ángulo de inclinación de la velocidad inicial con respecto a la horizontal: θ = 45°):
xᵢ = 0,
yᵢ = 20 m,
que son las componentes de la posición inicial,
vix = vᵢ*cosθ = 12*cos(45°) ≅ 12*0,707 ≅ 8,484 m/s,
vyi = vᵢ*senθ = 12*sen(45°) ≅ 12*0,707 ≅ 8,484 m/s,
que son las componentes de la velocidad inicial,
a = -g = -9,8 m/s²,
que es la aceleración, cuya dirección es vertical y su sentido es hacia abajo,
ahora reemplazas datos en ambas ecuaciones, y queda:
x ≅ 0 + 8,484*t,
y ≅ 20 + 8,484*t + (1/2)*(-9,8)*t²,
vx ≅ 8,484,
vy ≅ 8,484 + (-9,8)*t,
a continuación resuelves coeficientes, cancelas términos nulos, y queda:
x ≅ 8,484*t (1a),
y ≅ 20 + 8,484*t - 4,9*t² (1b),
vx ≅ 8,484 (2a,
vy ≅ 8,484 - 9,8*t (2b).
a)
Planteas la condición de llegada de la piedra a nivel de la superficie del río, y queda la ecuación:
y = 0,
a continuación sustituyes la expresión señalada (1b) en el primer miembro, y queda:
20 + 8,484*t - 4,9*t² ≅ 0,
aquí ordenas términos en el primer miembro, y queda:
-4,9*t² + 8,484*t + 20 ≅ 0,
ahora multiplicas por -1 en todos los términos, y queda:
4,9*t² - 8,484*t - 20 ≅ 0,
que es una ecuación polinómica cuadrática, por lo que aplicas Fórmula de Baskara (o Fórmula Resolvente), y tienes dos opciones:
1°)
t ≅ (8,484 - √[(-8,484)² - 4*4,9*(-20)])/(2*4,9) ≅ (8,484 - √[71,978 + 392])/9,8 ≅ (8,484 - √[463,978])/9,8,
a continuación resuelves en el numerador, y queda:
t ≅ (8,484 - 21,540)/9,8 ≅ -13,056/9,8 ≅ -1,332 s,
que no tiene sentido para este problema (observa que este instante es anterior al instnte inicial, que corresponde al lanzamiento de la piedra),
2°)
t ≅ (8,484 + √[(-8,484)² - 4*4,9*(-20)])/(2*4,9) ≅ (8,484 + √[71,978 + 392])/9,8 ≅ (8,484 + √[463,978])/9,8,
a continuación resuelves en el numerador, y queda:
t ≅ (8,484 + 21,540)/9,8 ≅ 30,024/9,8 ≅ 3,064 s (3),
que es el instante en el cual la piedra alcanza el nivel de la superficie del río,
a continuación sustituyes este último valor remarcado en la ecuación señalada (1a), resuelves, y queda:
x ≅ 8,484*3,064 ≅ 29,059 m,
que es la componente horizontal de la posición de la piedra cuando alcanza el nivel de la superficie del río.
b)
Reemplazas el valor señalado (3) en las ecuaciones señaladas (2a) (2b), las resuelves, y queda:
vx ≅ 8,484 m/s,
vy ≅ 8,484 - 9,8*3,064 ≅ 8,484 - 30,027 ≅ -21,543 m/s,
que son las componentes de la velocidad de la piedra cuando alcanza el nivel del río, cuya expresión vectorial queda:
v = < vx ; vy > ≅ < 8,484 ; -21,543 > m/s,
y aquí observa que el signo positivo en la primera componente, y el signo negativo en la segunda componente, te indican que su dirección es inclinada, e intermedia entre el semieje OX positivo y el semieje OY negativo,
a continuación planteas la expresión de la rapidez de la piedra cuando alcanza la superficie del río, como el módulo de su velocidad correspondiente, y queda:
|v| = √(vx² + vy²) ≅ √(8,484² + [-21,543]²) ≅ √(71,978 + 464,101) ≅ √(536,079) ≅ 23,153 m/s,
a continuación planteas la expresión de la tangente del ángulo que determina esta velocidad con la horizontal, y queda:
tanθ = vy/vx ≅ -21,543/8,484 ≅ -2,539,
aquí compones con la función inversa de la tangente, y queda:
θ ≅ -68,503°,
que es la medida del ángulo que determina la velocidad de la piedra cuando alcanza el nivel del río, cuyo signo negativo te indica que este ángulo queda determinado por debajo de dicha superficie.
Espero haberte ayudado.