Yaser
La aceleración debida a la gravedad en la Luna es aproximadamente una sexta parte de la de la Tierra. (a) Si se dejara caer un objeto desde la misma altura en la Luna y en la Tierra, el tiempo que tardaría en llegar a la superficie en la Luna es 1) √6, 2) 6, o 3) 36 veces el tiempo que tardaría en la Tierra. (b) Para un proyectil con una velocidad inicial de 18.0 m/s hacia arriba, ¿cuál sería la altura máxima y el tiempo total de vuelo en la Luna y en la Tierra? Paso a paso, por favor. Gracias.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel del suelo en el astro correspondiente, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba. Luego, vamos con cada astro por separado en ambos incisos,y en ambos casos planteamos las ecuaciones tiempo-posición y tiempo-velocidad de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado:
y = yᵢ + vᵢ*t + (1/2)*a*t² (*)
v = vᵢ + a*t (**).
a)
Para la Tierra, tienes los datos iniciales (observa que indicamos con H a la altura desde la cual caen los objetos):
yᵢ = H, vᵢ = 0, a = -g,
a continuación reemplazas estos valores en la ecuación señalada (1), y queda:
y = H + 0*t + (1/2)*(-g)*t²,
aquí cancelas el término nulo y resuelves el coeficiente en el último término, y queda:
y = H - (1/2)*g*t²,
ahora planteas la condición de llegada a nivel del suelo: y = 0, a continuación reemplazas este valor en la última ecuación, y queda:
0 = H - (1/2)*g*t²,
aquí sumas (1/2)*g*t² en ambos miembros, y queda:
(1/2)*g*t² = H,
ahora multiplicas por 2 y divides por g en ambos miembros, y a continuación despejas:
tT = √(2*g/H) (1),
que es la expresión del instante en el que el objeto toca el suelo, en función del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre y desde la altura inicial en su caída.
Para la Luna, tienes los datos iniciales (observa que indicamos con H a la altura desde la cual caen los objetos):
yᵢ = H, vᵢ = 0, a = -(1/6)*g,
a continuación reemplazas estos valores en la ecuación señalada (1), y queda:
y = H + 0*t + (1/2)*(-(1/6)*g)*t²,
aquí cancelas el término nulo y resuelves el coeficiente en el último término, y queda:
y = H - (1/12)*g*t²,
ahora planteas la condición de llegada a nivel del suelo: y = 0, a continuación reemplazas este valor en la última ecuación, y queda:
0 = H - (1/12)*g*t²,
aquí sumas (1/12)*g*t² en ambos miembros, y queda:
(1/12)*g*t² = H,
ahora multiplicas por 12 y divides por g en ambos miembros, y a continuación despejas:
tL = √(12*g/H) (2),
que es la expresión del instante en el que el objeto toca el suelo, en función del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre y desde la altura inicial en su caída.
Luego, planteas la razón del valor del instante final en la Luna entre el valor del instante inicial en la Tierra, sustituyes las expresiones señaladas (2) (1), y queda:
tL/tT = √(12*g/H)/√(2*g/H),
aquí asocias raíces cuadradas, y queda:
tL/tT = √[(12*g/H)/(2*g/H)],
ahora resuelves la división entre expresiones fraccionarias en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:
tL/tT = √[12*g*H/(2*g*H)],
a continuación simplificas en el argumento de la raíz cuadrada, y queda:
tL/tT = √[6],
y puedes concluir que la opción señalada (1) es la respuesta correcta.
b)
Para la Tierra, tienes los datos iniciales:
yᵢ = 0, vᵢ = +18 m/s, a = -g = -9,8 m/s²,
a continuación reemplazas estos valores en las ecuaciones señaladas (*) (**), y queda:
y = 0 + 18*t + (1/2)*(-9,8)*t²,
v = 18 + (-9,8)*t,
aquí cancelas el término nulo en la primera ecuación, resuelves coeficientes en ambas ecuaciones, y queda:
y = 18*t - 4,9*t² (3),
v = 18 - 9,8*t (4);
luego, planteas la condición de altura máxima (recuerda que el objeto "no asciende ni desciende" en el instante correspondiente): v = 0, reemplazas este valor en la ecuación señalada (4), y queda:
0 = 18 - 9,8*t,
aquí sumas 9,8*t en ambos miembros, y a continuación despejas:
tMT = 18/9,8 ≅ 1,837 s (5),
que es el instante en el que el objeto alcanza su altura máxima, que es numéricamente igual al intervalo que emplea en su etapa de ascenso, y también al intervalo que emplea en su etapa de descenso, por lo que tienes que el instante en el cual el objeto vuelve a nivel del suelo en la Tierra, queda expresado:
tvT ≅ 2*1,837 ≅ 3,674 s,
que es numéricamente igual al intervalo de tiempo en el que el objeto permanece en vuelo,
a continuación reemplazas el valor señalado (5) en la ecuación señalada (3), resuelves, y queda:
yMT ≅ 18*1,837 - 4,9*1,837² ≅ 33,066 - 16,535 ≅ 16,531 m,
que es la altura máxima que el objeto alcanza en la Tierra.
Para la Luna, tienes los datos iniciales:
yᵢ = 0, vᵢ = +18 m/s, a = -(1/6)*g = -(1/6)*9,8 m/s² ≅ -1,633 m/s²,
a continuación reemplazas estos valores en las ecuaciones señaladas (*) (**), y queda:
y = 0 + 18*t + (1/2)*(-1,633)*t²,
v = 18 + (-1,633)*t,
aquí cancelas el término nulo en la primera ecuación, resuelves coeficientes en ambas ecuaciones, y queda:
y = 18*t - 0,817*t² (3*),
v = 18 - 1,633*t (4*);
luego, planteas la condición de altura máxima (recuerda que el objeto "no asciende ni desciende" en el instante correspondiente): v = 0, reemplazas este valor en la ecuación señalada (4), y queda:
0 = 18 - 1,633*t,
aquí sumas 1,633*t en ambos miembros, y a continuación despejas:
tML = 18/1,633 ≅ 11,023 s (5),
que es el instante en el que el objeto alcanza su altura máxima, que es numéricamente igual al intervalo que emplea en su etapa de ascenso, y también al intervalo que emplea en su etapa de descenso, por lo que tienes que el instante en el cual el objeto vuelve a nivel del suelo en la Luna, queda expresado:
tvL ≅ 2*11,023 ≅ 22,046 s,
que es numéricamente igual al intervalo de tiempo en el que el objeto permanece en vuelo,
a continuación reemplazas el valor señalado (5*) en la ecuación señalada (3*), resuelves, y queda:
yML ≅ 18*11,023 - 0,817*11,023² ≅ 198,414 - 99,271 ≅ 99,143 m,
que es la altura máxima que el objeto alcanza en la Luna.
Espero haberte ayudado.
El aporte de Antonio es correcto, por lo que compáralo con el suyo en caso de duda.
Un saludo.