Yaser
Un estudiante situado en una ventana del segundo piso de una residencia universitaria ve a su profesor de matemáticas caminando por la acera junto al edificio. Suelta un globo de agua desde 18.0 m de altura cuando el profesor se encuentra a 1.00 m del punto situado justo debajo de la ventana. Si el profesor mide 1.70 m y camina a una velocidad de 0.450 m/s, ¿le alcanza el globo? Si no es así, ¿a qué distancia llega? Paso a paso, por favor. Gracias.
Observa que tienes dos móviles: el globo que se desplaza con dirección vertical y sentido hacia abajo, y el profesor que se desplaza con dirección horizontal y sentido hacia la izquierda, según tu figura; luego, vamos con cada móvil por separado, y para ambos consideramos el instante inicial: tᵢ = 0 correspondiente a la situación que muestra tu figura.
Luego, para el globo, establece un sistema de referencia con origen de coordenadas a nivel del suelo, justo en el punto que se encuentra debajo de la ventana, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, a continuación planteas la ecuación tiempo-posición de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, y queda:
y = yᵢ + vᵢ*t + (1/2)*a*t²,
aquí reemplazas datos iniciales: yᵢ = 18 m, vᵢ = 0, a = -g = -9,8 m/s², y queda:
y = 18 + 0*t + (1/2)*(-9,8)*t²,
ahora cancelas el término nulo y resuelves el coeficiente en el último término, y queda:
y = 18 - 4,9*t² (*),
aquí planteas la situación en estudio: el globo alcanza la posición de la cabeza del profesor:
y = 1,7 m, a continuación reemplazas este valor en la ecuación señalada (*), y queda:
1,7 = 18 - 4,9*t²,
ahora sumas 4,9*t² y restas 1,7 en ambos miembros, y queda:
4,9*t² = 16,3,
aquí divides en ambos miembros por 4,9 y a continuación despejas:
t = √(16,3/4,9) ≅ √(3,327) ≅ 1,824 s (1),
que es el instante en el cual el globo alcanza la altura de la cabeza del profesor,
ahora planteas la condición de llegada del globo a nivel del suelo: y = 0, a continuación reemplazas este valor en la ecuación señalada (*), y queda:
0 = 18 - 4,9*t²,
ahora sumas 4,9*t² en ambos miembros, y queda:
4,9*t² = 18,
aquí divides por 4,9 en ambos miembros, y a continuación despejas:
t = √(18/4,9) ≅ √(3,673) ≅ 1,917 s (2),
que es el instante en el cual el globo choca con el suelo.
Luego, para el profesor, establece un sistema de referencia con eje OX paralelo al suelo, con origen de coordenadas en la posición del profesor que se muestra en tu figura, y con sentido positivo hacia la izquierda, a continuación planteas la ecuación tiempo-posición de Movimiento Rectilíneo Uniforme, y queda:
x = xᵢ + v*t,
aquí reemplazas datos iniciales: xᵢ = 0, v = 0,45 m/s, y queda:
x = 0 + 0,45*t,
aquí cancelas el término nulo, y queda:
x = 0,45*t (3),
ahora planteas la condición de llegada del profesor a la posición de impacto del globo contra el suelo: x = 1 m, a continuación reemplazas este valor en la ecuación señalada (3), y queda:
1 = 0,45*t,
aquí divides por 0,45 en ambos miembros, y a continuación despejas:
t = 1/0,45 ≅ 2,222 s (4),
que es el instante en el que el profesor alcanza el punto de impacto del globo y, como es mayor que los valores señalados (1) (2), entonces puedes concluir que el globo no alcanza al profesor, porque ya ha pasado el nivel de su cabeza, y que también ha impactado sobre el suelo, cuando el profesor pasa por la posición en estudio.
Luego, reemplazas el valor señalado (2) en la ecuación señalada (3), y queda:
x ≅ 0,45*1,917 ≅ 0,863 m (5),
que es la posición del profesor cuando el globo choca con el suelo,
a continuación planteas la distancia que separa al profesor del globo cuando éste toca el suelo, como la resta de la posición de impacto del globo menos la posición del profesor en el mismo instante, y queda:
d ≅ 1 - 0,863 ≅ 0,137 m ≅ 13,7 cm.
Espero haberte ayudado.