Yaser
La estrella más cercana es Próxima Centauri, a una distancia de 4,2 años luz del Sol. Supón que queremos enviar una nave espacial para explorar esta estrella. Para mantener cómodos a los astronautas, queremos que la nave espacial viaje con una aceleración constante de 9,81 m/s2en todo momento (esto simulará la gravedad ordinaria dentro de la nave espacial). Si la nave espacial acelera a 9,81 m/s2 hasta que alcanza el punto medio de su viaje y luego desacelera a 9,81 m/s2 hasta que llega a Próxima Centauri, ¿cuánto durará el viaje de ida? ¿Cuál será la rapidez y velocidad de la nave espacial en el punto medio? Haz tus cálculos de acuerdo con la física newtoniana. Paso a paso, por favor. Gracias.
Aquí comencemos con ajustes en las unidades de medida, a fin de poder expresar los datos que tienes en tu enunciado en unidades internacionales:
1 año = 365 días = 365*24 horas = 365*24*3600 s = 31536000 s = 3,1536*107 s,
c = 300000 Km/s = 300000*1000 m/s = 300000000 m/s = 3*108 m/s (rapidez de la luz en el vacío),
1 año Luz = (1 año)*c = 3,1536*107*3*108 = 9,4608*1015 s.
Luego, establece un sistema de referencia con origen de coordenadas e instante inicial: ti = 0 en el punto de partida de la nave, con eje OY con dirección y sentido positivo acordes a su desplazamiento; luego, observa que la nave se desplaza en dos etapas, para las que planteamos las ecuaciones tiempo-posición y tiempo-velocidad de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado:
y = yi + vi*(t - ti) + (1/2)*a*(t - ti)2 (a),
v = vi + a*(t - ti) (b),
y recuerda que los datos finales en la primera etapa son los datos iniciales en la segunda.
1°)
Etapa de aceleración, con los datos iniciales: ti = 0, yi = 0, vi = 0, a = 9,81 m/s2, a continuación reemplazas estos valores en las ecuaciones señaladas (a) (b), y queda:
y = 0 + 0*(t - 0) + (1/2)*9,81*(t - 0)2,
v = 0 + 9,81*(t - 0),
aquí cancelas términos nulos en ambas ecuaciones, resuelves el coeficiente en el último término en la primera ecuación, y queda:
y = 4,905*t2 (1a),
v = 9,81*t (1b),
a continuación observa que tienes la posición final para esta etapa:
y = 4,2/2 aL = 2,1 aL = 2,1*9,4608*1015 = 19,868*1015 = 1,9868*1016 m,
ahora reemplazas este último valor en la ecuación señalada (1a), y queda:
1,9868*1016 = 4,905*t2,
aquí divides en ambos miembros por 4,905, y queda:
0,40506*1016 = t2,
ahora extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros, y a continuación despejas:
t = √(0,40506*1016) = 0,63644*108 s = 6,3644*108 s,
que es el instante final para esta etapa,
a continuación reemplazas este valor en la ecuación señalada (1b), resuelves, y queda:
v = 9,81*6,3644*108 = 62,435*108 = 6,2435*109 m/s,
que es la velocidad final de la nave en esta etapa y, como su signo es positivo, también es el valor de su rapidez,
y observa que esta velocidad es mayor que la velocidad de la luz en el vacío, lo que contradice la Teoría de la Relatividad.
2°)
Etapa de desaceleración, en la que tienes que:
- el trayecto a recorrer tiene la misma longitud que en la etapa anterior,
- que la velocidad inicial de la nave es la velocidad final en la etapa anterior,
- que la velocidad final de la nave es la velocidad inicial en la etapa anterior, y
- que la aceleración de la nave es la opuesta a la que tenía en la etapa anterior,
por lo que tienes que empleará el mismo intervalo de tiempo en completar esta etapa y, por lo tanto, tienes que el instante final para esta etapa queda expresado:
t = 6,3644*108 + 6,3644*108 = 12,729*108 = 1,2729*109 s,
y como tienes establecido que el instante inicial es igual a cero, entonces tienes que este valor remarcado también expresa el intervalo de tiempo empleado en realizar el viaje de ida.
Espero haberte ayudado.