Yaser
Dos ciudades A y B están conectadas por un servicio regular de autobús, en el que un autobús sale en cada dirección cada T minutos. Un hombre que va en bicicleta a una velocidad de 20 km h-1en la dirección A a B se da cuenta de que un autobús pasa a su lado cada 18 minutos en la dirección de su movimiento y cada 6 minutos en la dirección opuesta. ¿Cuál es el período T del servicio de autobús? (en minutos) Paso a paso, por favor. Gracias.
a) 9 b) 6 c) 18 d) Ninguno
3°)
Considera que un tercer bus parte de la ciudad B junto contigo, por lo que tienes que sus datos iniciales son (observa que designamos con L a la distancia que separa a las dos ciudades):
ti = 0, xi = L, v = -va,
a continuación sustituyes datos iniciales en la ecuación señalada (*), y queda:
x = L + (-va)*(t - 0),
aquí resuelves el coeficiente y cancelas el término nulo en el último término, y queda:
x3 = L - va*t (3);
luego, planteas la condición de encuentro de este tercer bus contigo, por lo que con las ecuaciones señaladas (1) (3) planteas el sistema:
x = (50/9)*t,
x = L - va*t,
a continuación igualas expresiones, y queda:
(50/9)*t = L - va*t,
aquí restas va*t en ambos miembros, y queda:
(50/9)*t - va*t = L,
ahora extraes factor común en el primer miembro, y queda:
(50/9 - va)*t = L,
y de aquí despejas:
t3 = L/(50/9 - va) (B),
que es la expresión del instante en que te cruzas con este bus.
4°)
Considera el siguiente bus que parte de la ciudad B, cuyos datos iniciales son:
ti = T, xi = L, v = -va,
a continuación sustituyes datos iniciales en la ecuación señalada (*), y queda:
x = L + (-va)*(t - T),
aquí resuelves el coeficiente en el último término, y queda:
x2 = L - va*(t - T) (4);
luego, planteas la condición de encuentro de este cuarto bus contigo, por lo que con las ecuaciones señaladas (1) (4) planteas el sistema:
x = (50/9)*t,
x = L - va*(t - T),
a continuación igualas expresiones, y queda:
(50/9)*t = L - va*(t - T),
aquí distribuyes en el último término, y queda:
(50/9)*t = L - va*t + va*T,
ahora sumas va*t en ambos miembros, y queda:
(50/9)*t + va*t = L + va*T,
a continuación extraes factor común en el primer miembro, y queda:
(50/9 + va)*t = L + va*T,
y de aquí despejas:
t4 = (L + va*T)/(50/9 + va) (C),
que es la expresión del instante en que te cruzas con este bus.
Vamos con un desarrollo alternativo.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en la ciudad A, con eje OX con dirección y sentido positivo hacia la ciudad B, y considera que tú (movil 0) y el bus 1 parten desde la ciudad A, y el bus 3 parte desde la ciudad B, los tres en el instante inicial: ti = 0, y que en el instante ti = T parte el bus 2 desde la ciudad A y el bus 4 parte desde la ciudad B; luego, para los cinco móviles, considera la ecuación tiempo-posición de Movimiento Rectilíneo Uniforme:
x = xi + v*(t - ti),
con los datos iniciales para cada móvil (observa que designamos con L a la distancia que separa a las ciudades, y con va a la rapidez de los buses, y presta atención a los signos de sus velocidades):
móvil 0: ti = 0, xi = 0 v = 20 Km/h = 20*1000/3600 = 50/9 m/s,
bus 1: ti = 0, xi = 0, v = +va,
bus 2: ti = T, xi = 0, v = +va,
bus 3: ti = 0, xi = L, v = -va,
bus 4: ti = T, xi = L, v = -va;
luego, para cada móvil, reemplazas datos iniciales, cancelas términos nulos, y quedan las ecuaciones (observa que resolvemos coeficientes en sus últimos términos, y te dejamos a ti los pasos intermedios, a fin de no prolongar demasiado este desarrollo):
x = (50/9)*t (0),
x = va*t (1),
x = va*(t - T) (2),
x = L - va*t (3),
x = L - va*(t - T) (4);
luego, vamos con un desarrollo por etapas.
1°)
Observa que el móvil 0 y el bus 1 se encuentran en el instante inicia: ti = 0, por lo que tienes que el instante de encuentro del móvil 0 con el bus 2 queda expresado:
t = 18 min = 18/60 = 3/10 h,
a continuación reemplazas este valor en las ecuaciones señaladas (0) (2), resuelves en la primera ecuación, y queda el sistema:
x = 5/3 Km,
x = va*(3/10 - T),
aquí igualas expresiones, y queda:
va*(3/10 - T) = 5/3,
ahora extraes denominador común en el agrupamiento, y queda:
va*(3 - 10*T)/10 = 5/3,
a continuación multiplicas por 10 y por 3 en ambos miembros, y queda:
3*va*(3 - 10*T) = 50 (A).
2°)
Planteas la condición de encuentro del móvil 0 con el bus 3, por lo que planteas el sistema conformado por las ecuaciones señaladas (0) (3), y queda:
x = (50/9)*t,
x = L - va*t,
a continuación igualas las expresiones que tienes en los segundos miembros, y queda:
(50/9)*t = L - va*t,
aquí multiplicas por 9 en todos los términos, y queda:
50*t = 9*L - 9*va*t,
ahora sumas 9*va*t en ambos miembros, y queda:
50*t + 9*va*t = 9*L,
aquí extraes factor común en el primer miembro, y a continuación despejas:
t3 = 9*L/(50 + 9*va),
que es la expresión del instante en el que el móvil 0 se encuentra con el móvil 3.
3°)
Planteas la condición de encuentro del móvil 0 con el bus 4, por lo que planteas el sistema conformado por las ecuaciones señaladas (0) (4), y queda:
x = (50/9)*t,
x = L - va*(t - T),
a continuación igualas las expresiones que tienes en los segundos miembros, y queda:
(50/9)*t = L - va*(t - T),
aquí multiplicas por 9 en todos los términos, y queda:
50*t = 9*L - 9*va*(t - T),
ahora distribuyes en el último término, y queda:
50*t = 9*L - 9*va*t + 9*va*T,
a continuación sumas 9*va*t en ambos miembros, y queda:
50*t + 9*va*t = 9*L + 9*va*T,
aquí extraes factor común en el primer miembro, y después despejas:
t4 = (9*L + 9*va*T)/(50 + 9*va),
que es la expresión del instante en el que el móvil 0 se encuentra con el móvil 4.
4°)
Tienes el intervalo de tiempo entre los encuentros del móvil 0 con los buses 3 y 4 (recuerda: 6 min = 1/10 h), por lo que puedes plantear la ecuación:
t4 - t3 = 1/10,
a continuación sustituyes las expresiones que ya tienes determinadas en el primer miembro, y queda:
(9*L + 9*va*T)/(50 + 9*va) - 9*L/(50 + 9*va) = 1/10,
aquí extraes denominador común en el primer miembro, y queda:
(9*L + 9*va*T - 9*L)/(50 + 9*va) = 1/10,
ahora cancelas términos opuestos en el numerador en el primer miembro, y queda:
9*va*T/(50 + 9*va) = 1/10,
a continuación multiplicas por 10 y por (50 + 9*va) en ambos miembros, y queda:
90*va*T = 50 + 9*va,
aquí restas 9*va en ambos miembros, y queda:
90*va*T - 9*va = 50,
ahora extraes factor común en el primer miembro, y a continuación despejas:
va = 50/(90*T - 9) (B),
que es la expresión de la rapidez de los autobuses, en función del periodo del servicio.
5°)
Sustituyes la expresión señaladas (B) en el primer miembro en la ecuación señalada (A), y queda:
3*[50/(90*T - 9)]*(3 - 10*T) = 50,
a continuación resuelves la multiplicación de expresiones en el primer miembro, y queda:
150*(3 - 10*T)/(90*T - 9) = 50,
aquí divides por 50 en ambos miembros, y queda:
3*(3 - 10*T)/(90*T - 9) = 1,
ahora multiplicas por (90*T - 9) en ambos miembros, y queda:
3*(3 - 10*T) = 90*T - 9,
a continuación distribuyes en el primer miembro, y queda:
9 - 30*T = 90*T - 9,
aquí restas 90*T y restas 9 en ambos miembros, y queda:
-120*T = -18,
ahora divides por -120 en ambos miembros, y queda:
T = 3/20 h = (3/20)*60 = 9 min,
que es el periodo de servicio de autobús.
Espero haberta ayudado.